Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，A是x轴负半轴上一定点，一动点B从原点出发，沿y轴正半轴运动，以B为直角顶点，作等腰直角三角形△ABC．

（1） 若B点 运动2秒钟，C点坐标为（2，-2），求A点的坐标；

（2） 如图，B点从（1）中的位置出发保持运动速度不变，再运动2秒钟．E在原B点上，连AE，OD⊥AE，交x轴的平行线DB于D点，求D点坐标

（3） 点B从（2）的位置出发继续运动，如图AC交y轴于M，MN⊥y轴，且BM=MN，连CN，试问：AB和CN是否有某种确定的位置关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）A（－4，0）；（2）D（－2，4）；（3）AB∥NC．

【解析】

（1）过C作CD⊥y轴于D，通过证明△AOB≌△BDC，得到OB=CD，AO=BD．由C点坐标，得到CD=2，OD=2，即可得出结论．

（2）由（1）得到OA，OE的长，进而得到OA=BO．通过证明△AOE≌OBD，得到OE=BD=2，即可得出结论．

（3）过B作BH⊥AC于H，过N作NG⊥AC于G，可证明△BHM≌△MGN，得到BH=MG，MH=NG，再证明MH=GC，等量代换得到GN=GC，则△CGN是等腰直角三角形，则有∠NCG=∠BAC，即可得出结论．

（1）如图1，过C作CD⊥y轴于D，∴∠DBC+∠BCD=90°．

∵等腰直角三角形△ABC，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°，∴∠ABD=∠BCD．

∵∠AOB=∠BDC=90°，∴△AOB≌△BDC，∴OB=CD，AO=BD．

∵C点坐标为（2，-2），∴CD=2，OD=2，∴AO=BD=BO+OD=CD+OD=2+2=4，∴A（－4，0）．

（2）由（1）可知：OA=4，OE=BE=2，∴OB=4，∴OA=BO．

∵OD⊥AE，∴∠EAO+∠AOD=90°．

∵∠AOD+∠DOB=90°，∴∠EAO=∠DOB．

∵DB∥x轴，∴∠DBO=∠EOA=90°．

在△AOE和△OBD中，∵∠EAO=∠DOB，OA=BO，∠AOE=∠OBD=90°，∴△AOE≌OBD，∴OE=BD=2，∴D（－2，4）．

（3） AB∥NC．理由如下：

过B作BH⊥AC于H，过N作NG⊥AC于G，∴∠BHM=∠MGN=90°，∠HBM+∠BMH=90°．

∵MN⊥y轴，∴∠BMH+∠NMG=90°，∴∠HBM=∠GMN．

在△BHM和△MGN中，∵∠HBM=∠GMN，∠BHM=∠MGN，BM=MN，∴△BHM≌△MGN，∴BH=MG，MH=NG．

∵△ABC是等腰直角三角形，BH⊥AC，∴∠BAC=45°，BH=HC，∴MG=HC，∴MH+HG=HG+GC，∴MH=GC，∴GN=GC，∴△CGN是等腰直角三角形，∴∠NCG=45°，∴∠NCG=∠BAC，∴AB∥NC．