【题目】在△ABC中,AB = AC = 5,tanB =. 若⊙O的半径为,且⊙O经过点B与C,那么线段OA的长等于________.
【答案】3或5
【解析】
根据题意可得△ABC为等腰三角形,且∠A为顶角,根据tanB的值可以得出BC=8,经过B、C两点的圆的圆心在BC的中垂线上,然后根据圆心在三角形内和三角形外两种情况进行分类讨论.
解:分两种情况考虑:
(i)如图1所示,
∵AB=AC,OB=OC,
∴AO垂直平分BC,
∴OA⊥BC,D为BC的中点,
在Rt△ABD中,AB=5,tan∠ABC==,
设AD=4x,BD=3x,由勾股定理得:(3x)2+(4x)2=52,
解得x=1,
∴BD=3,AD=4,
在Rt△BDO中,OD=,BD=3,
则AO=AD+OD=4+1=5;
(ii)如图2所示,AO=ADOD=41=3;
综合上述,OA的长为3或5.
故答案为:3或5.
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【题目】有这样一个问题:探究函数的图象与性质.
小东根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究.
下面是小东的探究过程,请补充完整,并解决相关问题:
(1)函数的自变量x的取值范围是 ;
(2)下表是y与x的几组对应值,求m的值;
x | … | 1 | 2 | 3 | 4 | … | |||||||
y | … | m | … |
(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;
(4)进一步探究发现,该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是,结合函数的图象,写出该函数的其它性质(一条即可) .
(5)根据函数图象估算方程的根为 .(精确到0.1)
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣3,0)和点B,与y轴交于点C (0,2).
(1)求抛物线的表达式,并用配方法求出顶点D的坐标;
(2)若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点,求tan∠CEB的值.
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【题目】如图,平面内有一等腰直角三角形ABC(∠ACB=90°)和一直线MN.过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F,小明同学过点C作BF的垂线,如图1,利用三角形全等证得AF+BF=2CE.
(1)若三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置,其他条件不变,试猜想线段AF、BF、CE之间的数量关系,并证明你的猜想.
(2)若三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置,其他条件不变,则线段AF、BF、CE之间的数量关系为 .
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【题目】小明想了解全校3000名同学对新闻、体育、音乐、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,从中抽取了一部分同学进行了一次抽样调查,利用所得数据绘制成下面两幅不完整的统计图:
(1)在这次调查研究中,一共调查了 名学生,“体育”在扇形图中所占的圆心角是 度.
(2)求出右图中a、b的值,并补全条形图.
(3)若此次调查中喜欢体育节目的女同学有10人,请估算该校喜欢体育节目的女同学有多少人?
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【题目】如果两个二次函数的图象关于y轴对称,我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”,如图所示二次函数y1 = x2 + 2x + 2与y2 = x2 - 2x + 2是“关于y轴对称二次函数”.
(1)二次函数y = 2(x + 2)2 + 1的“关于y轴对称二次函数”解析式为 ;二次函数y = a(x - h)2 + k的“关于y轴对称二次函数”解析式为 ;
(2)如备用图,平面直角坐标系中,记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A,它们的两个顶点分别为B,C,且BC=6,顺次连接点A,B,O,C得到一个面积为24的菱形,求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式.
(3)在第(2)题的情况下,如果M是两个抛物线上的一点,以点A,O,C,M为顶点能否构成梯形. 若能,求出此时M坐标;若不能,说明理由.
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【题目】如图,已知直线与抛物线相交于点和点两点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点,当的面积最大时,求此时的面积及点的坐标;
(3)在轴上是否存在点,使是等腰三角形?若存在,直接写出点的坐标(不用说理);若不存在,请说明理由.
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【题目】对于平面直角坐标系中的图形和直线,给出如下定义:为图形上任意一点,为直线上任意一点,如果,两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形和直线之间的“确定距离”,记作(,直线).
已知,.
(1)求(点,直线);
(2)的圆心为,半径为1,若(,直线),直接写出的取值范围;
(3)记函数,(,)的图象为图形.若(,直线),直接写出的值.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦BC=OB,点D是上一动点,点E是CD中点,连接BD分别交OC,OE于点F,G.
(1)求∠DGE的度数;
(2)若=,求的值;
(3)记△CFB,△DGO的面积分别为S1,S2,若=k,求的值.(用含k的式子表示)
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