Question

【题目】在△ABC中，AB = AC = 5，tanB =. 若⊙O的半径为，且⊙O经过点B与C，那么线段OA的长等于________.

Answer 1

【答案】3或5

【解析】

根据题意可得△ABC为等腰三角形，且∠A为顶角，根据tanB的值可以得出BC=8，经过B、C两点的圆的圆心在BC的中垂线上，然后根据圆心在三角形内和三角形外两种情况进行分类讨论．

解：分两种情况考虑：

（i）如图1所示，

∵AB＝AC，OB＝OC，

∴AO垂直平分BC，

∴OA⊥BC，D为BC的中点，

在Rt△ABD中，AB＝5，tan∠ABC＝＝，

设AD＝4x，BD＝3x，由勾股定理得：（3x）2＋（4x）2＝52，

解得x＝1，

∴BD＝3，AD＝4，

在Rt△BDO中，OD＝，BD＝3，

则AO＝AD＋OD＝4＋1＝5；

（ii）如图2所示，AO＝ADOD＝41＝3；

综合上述，OA的长为3或5．

故答案为：3或5．