Question

【题目】如图，平面内有一等腰直角三角形ABC（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，小明同学过点C作BF的垂线，如图1，利用三角形全等证得AF+BF＝2CE．

（1）若三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，试猜想线段AF、BF、CE之间的数量关系，并证明你的猜想．

（2）若三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，则线段AF、BF、CE之间的数量关系为　 　．

Answer 1

【答案】(1) AF﹣BF＝2CE;(2) BF﹣AF＝2CE；

【解析】

（1）过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，证明△CBG≌△CAE，再根据全等三角形对应边相等，即可证得AF﹣BF＝2CE；

（2）过点C做CD⊥BF，交FB的于点D，证明△CBD≌△CAE，同样可根据全等三角形对应边相等，即可证得BF﹣AF＝2CE.

解：（1）AF﹣BF＝2CE

图2中，过点C作CG⊥BF，交BF延长线于点G，

∵AC＝BC

可得∠AEC＝∠CGB，

∠ACE＝∠BCG，

在△CBG和△CAE中，

，

∴△CBG≌△CAE（AAS），

∴AE＝BG，

∵AF＝AE+EF，

∴AF＝BG+CE＝BF+FG+CE＝2CE+BF，

∴AF﹣BF＝2CE；

（2）BF﹣AF＝2CE；

如图3，过点C做CD⊥BF，交FB的于点D，

∵AC＝BC

可得∠AEC＝∠CDB，

∠ACE＝∠BCD，

在△CBD和△CAE中，

，

∴△CBD≌△CAE（AAS），

∴AE＝BD，

∵AF＝AE﹣EF，

∴AF＝BD﹣CE＝BF﹣FD﹣CE＝BF﹣2CE，

∴BF﹣AF＝2CE．

故答案为：BF﹣AF＝2CE．