Question

【题目】如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所示二次函数y1 = x2 + 2x + 2与y2 = x2 - 2x + 2是“关于y轴对称二次函数”．

（1）二次函数y = 2（x + 2）2 + 1的“关于y轴对称二次函数”解析式为 ；二次函数y = a（x - h）2 + k的“关于y轴对称二次函数”解析式为 ；

（2）如备用图，平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式．

（3）在第（2）题的情况下，如果M是两个抛物线上的一点，以点A，O，C，M为顶点能否构成梯形. 若能，求出此时M坐标；若不能，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y = 2（x - 2）2 + 1 ， y = a（x + h）2 + k ；（2）y=（x-3）2+4；（3）M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20）

【解析】

（1）根据“关于y轴对称二次函数”的定义即可求解；

（2）根据“关于y轴对称二次函数”，菱形的面积，可得顶点坐标，图象与y轴的交点，根据待定系数法，可得答案；

（3）根据题意分①若AO∥CM， ②若AC∥OM，③若OC∥AM，分别联立函数求解即可.

（1）二次函数y = 2（x + 2）2 + 1的“关于y轴对称二次函数”解析式为y = 2（x - 2）2 + 1；二次函数y = a（x - h）2 + k的“关于y轴对称二次函数”解析式为y = a（x + h）2 + k，

故填：y = 2（x - 2）2 + 1，y = a（x + h）2 + k ；

（2）由BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，由菱形面积公式得OA=8，

∴A点坐标为（0，8），

∵菱形ABOC

∴ - xB = xC yB = yA

∴B点的坐标为（-3，4），

设一个抛物线的解析式为y=a（x+3）2+4，将A点坐标代入，得9a+4=8，

解得a=，

∴y=（x+3）2+4关于y轴对称二次函数的函数表达式y=（x-3）2+4．

（3）①若AO∥CM，则xM = xC = 3，

把xM = 3代入上述两个抛物线解析式，解得y1 = 20， y2 = 4

∵C（3,4），∴y2 = 4舍去，

∴M1（3,20）

②若AC∥OM，

∵lAC：，∴lOM：

与抛物线联立方程或

或无解

∵B（-3,4），∴舍去，

∴M2（-6,8）

③若OC∥AM

∵lOC：，∴lAM：

同②解得

∵A（0，8）

∴M3（9,20）

综上所述，M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20）