Question

1．如图，△ABC为等边三角形，P是直线AB左侧一点，连接PA、PB、PC，PC与AB相交于点D，∠BPC=60°．
（1）求证：∠PBA=∠PCA；
（2）求证：PC=PA+PB．

Answer 1

分析 （1）首先根据三角形的内角和求得∠PBC+∠PCB=120°，再根据等边三角形的内角为60°，得到∠PBA+∠PCB=60°，∠ACB=∠PCB+∠PCA=60°，即可得到∠PBA=∠PCA．
（2）如图，延长BP至E，使PE=PA，连接AE，证明△PAE为等边三角形，得到AE=AP=PE，∠PAE=60°，由△ABC为等边三角形，证明△AEB≌△APC（SAS），得到EB=PC，即可解答．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠BPC=60°，
∴∠PBC+∠PCB=180°-60°=120°，
∴∠PBA+∠ABC+∠PCB=120°，
∴∠PBA+∠PCB=60°，
∵∠ACB=∠PCB+∠PCA=60°，
∴∠PBA=∠PCA．
（2）如图，延长BP至E，使PE=PA，连接AE，

∵∠PBA=∠PCA，
∴点A，P，B，C四点共圆，
∴∠APC=∠ABC=60°，
∴∠APE=180°∠BPC-∠APC=60°，
又∵PE=PA，
∴△PAE为等边三角形，
∴AE=AP=PE，∠PAE=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，
∴∠BAC=∠PAE，
∴∠BAC+∠PAD=∠PAE+∠PAD，
即：∠EAB=∠PAC，
在△AEB和△APC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AP}\\{∠EAB=∠PAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△APC（SAS），
∴EB=PC，
∵BE=BP+PE=PB+PA，
∴PC=PB+PA．

点评 本题主要考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是正确作出辅助线．