Question

12．在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A、C两点，
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点P，
①如图，当点P运动到某位置时，以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；
②以P为圆心的⊙P始终与直线AC切于点Q，当⊙P面积最大时，求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）由直线的解析式y=x+4易求点A和点C的坐标，把A和C的坐标分别代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解析式；
（2）①若以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，则PQ∥AO，再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标，由（1）中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解；
②经过点P的直线与AC平行，且该直线与抛物线只有一个交点P时，此时⊙P面积最大．

解答 解：（1）∵直线y=x+4经过A，C两点，
∴A点坐标是（-4，0），点C坐标是（0，4），
又∵抛物线过A，C两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×（-4）^{2}-4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4．

（2）①如图1，∵y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，
∴抛物线的对称轴是直线x=-1． 
∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，
∴PQ∥AO，PQ=AO=4．
∵P，Q都在抛物线上，
∴P，Q关于直线x=-1对称，
∴P点的横坐标是-3，
∴当x=-3时，y=-$\frac{1}{2}$×（-3）²-（-3）+4=$\frac{5}{2}$，
∴P点的坐标是（-3，$\frac{5}{2}$）；
②如图2，当直线PD与抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4只有一个交点时，⊙P面积最大，此时PD∥AC．
故设直线PD的解析式为：y=x+b（b＞4）．
则x+b=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，即$\frac{1}{2}$x²+2x-4+b=0，
△=4-4×$\frac{1}{2}$×（-4+b）=0，
解得b=6，
则直线PD的解析式为y=x+6．
所以$\left\{\begin{array}{l}{y=x+6}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-x+4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
所以点P的坐标是（-2，4）．

点评 本题是二次函数综合题，涉及到了待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定和性质，直线与圆的关系以及解一元二次方程等知识点，解题时注意数形结合数学思想的应用．