Question

10．如图，A点的坐标为（-2，1），以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P（m，n）为⊙A上的一个动点，请探索n+m的最大值．

Answer 1

分析 设m+n=k，则点P（m，n）在直线x+y=k上，易得直线y=-x+k与y轴的交点坐标为（0，k），于是可判断当直线y=-x+k与⊙A在上方相切时，k的值最大；直线y=-x+k与x轴交于点C，切⊙A于P，作PD⊥x轴于D，AE⊥PD于E，连接AB，如图，则C（k，0），利用直线y=-x+k的性质易得∠PCD=45°，则△PCD为等腰直角三角形，接着根据切线长定理和切线的性质得AB⊥OB，AP⊥PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，所以四边形ABDE为矩形，∠APE=45°，则DE=AB=1，PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以PD=PE+DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1，然后在Rt△PCD中，利用PC=$\sqrt{2}$PD得到2+k=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1），解得k=$\sqrt{2}$-1，从而得到n+m的最大值为$\sqrt{2}$-1．

解答 解：设m+n=k，则点P（m，n）在直线x+y=k上，当x=0时，y=k，即直线y=-x+k与y轴的交点坐标为（0，k），
所以当直线y=-x+k与⊙A在上方相切时，k的值最大，
直线y=-x+k与x轴交于点C，切⊙A于P，作PD⊥x轴于D，AE⊥PD于E，连接AB，如图，
当y=0时，-x+k=0，解得x=k，则C（k，0），
∵直线y=-x+k为直线y=-x向上平移k个单位得到，
∴∠PCD=45°，
∴△PCD为等腰直角三角形，
∵CP和OB为⊙A的切线，
∴AB⊥OB，AP⊥PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，
∴四边形ABDE为矩形，∠APE=45°，
∴DE=AB=1，
∵△APE为等腰直角三角形，
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PD=PE+DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1，
在Rt△PCD中，∵PC=$\sqrt{2}$PD，
∴2+k=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1），解得k=$\sqrt{2}$-1，
∴n+m的最大值为$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键是确定直线y=-x+k与⊙A相切时n+m的最大值．