【题目】如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C,顶点为D,抛物线的对称轴DF与BC相交于点E,与x轴相交于点F.
(1)求线段DE的长;
(2)设过E的直线与抛物线相交于点M(x1 , y1),N(x2 , y2),试判断当|x1﹣x2|的值最小时,直线MN与x轴的位置关系,并说明理由;
(3)设P为x轴上的一点,∠DAO+∠DPO=∠α,当tan∠α=4时,求点P的坐标.
【答案】
(1)
解:由抛物线y=﹣x2+2x+3可知,C(0,3),
令y=0,则﹣x2+2x+3=0,解得:x=﹣1,x=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0);
∴顶点x=1,y=4,即D(1,4);
∴DF=4
设直线BC的解析式为y=kx+b,代入B(3,0),C(0,3)得;
,解得
,
∴解析式为;y=﹣x+3,
当x=1时,y=﹣1+3=2,
∴E(1,2),
∴EF=2,
∴DE=DF﹣EF=4﹣2=2.
(2)
解:设直线MN的解析式为y=kx+b,
∵E(1,2),
∴2=k+b,
∴k=2﹣b,
∴直线MN的解析式y=(2﹣b)x+b,
∵点M、N的坐标是 的解,
整理得:x2﹣bx+b﹣3=0,
∴x1+x2=b,x1x2=b﹣3;
∵|x1﹣x2|= =
=
=
,
∴当b=2时,|x1﹣x2|最小值=2 ,
∵b=2时,y=(2﹣b)x+b=2,
∴直线MN∥x轴.
(3)
解:如图2,∵D(1,4),
∴tan∠DOF=4,
又∵tan∠α=4,
∴∠DOF=∠α,
∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α,
∵∠DAO+∠DPO=∠α,
∴∠DPO=∠ADO,
∴△ADP∽△AOD,
∴AD2=AOAP,
∵AF=2,DF=4,
∴AD2=AF2+DF2=20,
∴OP=19,
同理,当点P在原点左侧,OP=17.
∴P1(19,0),P2(﹣17,0).
【解析】(1)根据抛物线的解析式即可求得与坐标轴的坐标及顶点坐标,进而求得直线BC的解析式,把对称轴代入直线BC的解析式即可求得.(2)设直线MN的解析式为y=kx+b,依据E(1,2)的坐标即可表示出直线MN的解析式y=(2﹣b)x+b,根据直线MN的解析式和抛物线的解析式即可求得x2﹣bx+b﹣3=0,所以x1+x2=b,x1 x2=b﹣3;根据完全平方公式即可求得∵|x1﹣x2|= =
=
=
,所以当b=2时,|x1﹣x2|最小值=2
,因为b=2时,y=(2﹣b)x+b=2,所以直线MN∥x轴.(3)由D(1,4),则tan∠DOF=4,得出∠DOF=∠α,然后根据三角形外角的性质即可求得∠DPO=∠ADO,进而求得△ADP∽△AOD,得出AD2=AOAP,从而求得OP的长,进而求得P点坐标.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和两点间的距离的相关知识点,需要掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;同轴两点求距离,大减小数就为之.与轴等距两个点,间距求法亦如此.平面任意两个点,横纵标差先求值.差方相加开平方,距离公式要牢记才能正确解答此题.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAD=∠DAC,DF上AB,DM⊥AC,AF=10cm,AC=14cm,动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动,动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动,设运动时间为t.当t=________秒时,△DFE与△DMG全等.
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【题目】如图:在∠AOB的两边截取OA=OB,OC=OD,连接AD,BC交于点P,则下列结论中①△AOD≌△BOC,②△APC≌△BPD,③点P在∠AOB的平分线上。 正确的是 (填序号)
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【题目】如图,正比例函数y=﹣2x与反比例函数y= 的图象相交于A(m,2),B两点.
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;
(2)结合图象直接写出当﹣2x> 时,x的取值范围.
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【题目】为了了解某市120000名初中学生的视力情况,某校数学兴趣小组收集有关数据,并进行整理分析.
(1)小明在眼镜店调查了1000名初中学生的视力,小刚在邻居中调查了20名初中学生的视力,他们的抽样是否合理?并说明理由.
(2)该校数学兴趣小组从该市七、八、九年级各随机抽取了1000名学生进行调查,整理他们的视力情况数据,得到如下的折线统计图.
请你根据抽样调查的结果,估计该市120000名初中学生视力不良的人数是多少?
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【题目】一个25米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时的AO距离为24米,如果梯子的顶端A沿墙下滑4米,那么梯子底端B也外移4米,对吗?为什么?
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,DE垂直平分AC交BC于D,垂足为E,若DE=2cm,则BC的长为( )
A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm
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