Question

【题目】问题再现：

数形结合是一种重要的数学思想方法，借助这种思想方法可将抽象的数学知识变得直观并且具有可操作性.初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.

例如：利用图形的几何意义验证完全平方公式.

将一个边长为的正方形的边长增加，形成两个长方形和两个正方形，如图所示：这个图形的面积可以表示成：

或

∴

这就验证了两数和的完全平方公式.

类比解决：

请你类比上述方法，利用图形的几何意义验证平方差公式.

（要求画出图形并写出推理过程）

问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明？

如图所示，表示1个1×1的正方形，即：，表示1个2×2的正方形，与恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：、、就可以表示2个2×2的正方形，即：而、、、恰好可以拼成一个的大正方形.

由此可得：.

尝试解决：

请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：_______.（要求写出结论并构造图形写出推证过程）.

问题拓广：

请用上面的表示几何图形面积的方法探究：_______.（直接写出结论即可，不必写出解题过程）.

Answer 1

【答案】尝试解决：；问题拓广：.

【解析】

尝试解决：根据规律可以利用相同的方法进行探究推证，由于是探究13+23+33=？肯定构成大正方形有9个基本图形（3个正方形6个长方形）组成，如图所示可以推证．

实际应用：根据规律求大正方体中含有多少个正方体，可以转化为13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2来求得．

尝试解决：

如图,A表示1个1×1的正方形,即1×1×1=13;

B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，

因此B. C. D就可以拼成2个2×2的正方形，即：2×2×2=23；

G与H、E与F和I可以拼成3个3×3的正方形，即：3×3×3=33；

而整个图形恰好可以拼成一个(1+2+3)×(1+2+3)的大正方形，

因此可得：13+23+33=（1+2+3）2=62.

故答案为：(1+2+3)2或62.

问题拓广：由上探究可知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，

又∵1+2+3+…+n=

∴13+23+33+…+n3==

故答案为：