Question

2．如图，AB为半径为2的⊙O的内接正八边形的一边，图中阴影部分的面积为4π-8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接OA，OB，过B作BC垂直于OA，求出八边形的内角和，得出八边形每一个内角，得到三角形AOB顶角为∠AOB为45°，求出三角形AOB面积，由扇形AOB面积减去三角形AOB面积求出一个阴影部分面积，乘以8即可得到结果．

解答 解：连接OA，OB，过B作BC⊥OA，
∵正八边形的内角和为（8-2）×180°=1080°，
∴正八边形的每一个内角为1080°÷8=135°，
∴∠OAB+∠OBA=135°，
∴∠AOB=45°，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∵OB=2，
∴OC=BC=$\sqrt{2}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•BC=$\sqrt{2}$，
∴S_扇形AOB=$\frac{45π×2}{180}$=$\frac{π}{2}$，
则S_阴影部分=8（$\frac{π}{2}$-$\sqrt{2}$）=4π-8$\sqrt{2}$．
故答案为：4π-8$\sqrt{2}$

点评 此题考查了正多边形和圆，等腰直角三角形的判定与性质，八边形的性质，以及扇形面积公式，熟练掌握八边形的性质是解本题的关键．