Question

17．在正方形ABCD中，点G是AD的中点，点E在AB上，满足CG⊥DE，H为CG，DE的交点，DE与对角线AC相交于点F．
（1）求证：△AGF≌△AEF；
（2）求$\frac{AB}{EF}$的值；
（3）若△AEF的面积为x，正方形ABCD的面积为y，求y与x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）利用互余先判断出∠ADE=∠DCG，从而得到△ADE≌△ADG得出AE=DG，进而判断出△AGF≌△AEF；
（2）设AE=m，用勾股定理得出DE，用相似三角形得出$\frac{EF}{DF}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$，即：DF=2EF，借助DE=DF+EF，表示出EF即可，
（3）利用全等三角形的面积相等和等底同高的两三角形的面积相等，得出S_△ADE=3x，即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠DAE=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDH=90°，
∵CG⊥DE，
∴∠DCH+∠CDH=90°，
∴∠ADE=∠DCG，
在△ADE和△ADG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠DCG}\\{AD=CD}\\{∠DAE=∠DCG=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADG，
∴AE=DG
∵点D是AD中点，
∴DG=AG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AE=AG，
在△AGF和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠FAG=∠FAE=45°}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△AEF；
（2）设AE=m，则AB=AD=2m．
在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$m，
∴EF+DF=$\sqrt{5}$m
∵AE∥DC，
∴$\frac{EF}{DF}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$，
∴DF=2EF，
∴EF+2EF=$\sqrt{5}$m，
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{3}$m，
∴$\frac{AB}{EF}=\frac{2m}{\frac{\sqrt{5}}{3}m}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
（3）∵△AGF≌△AEF，
∴S_△AGF=S_△AEF=x，
∵AG=DG，
∴S_△DGF=S_△AGF=x，
∴S_△ADE=3x，
∵AE=BE，
∴y=S_{正方形ABCD}=4S_△ADE=12x

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的面积相等和等底同高的两三角形的面积相等，解本题的关键是△AGF≌△AEF．