Question

15．直线y=x+6交x轴、y轴于A、B两点，AC⊥AB交y轴于C，P为x轴正半轴上一点．
（1）求直线AC的解析式；
（2）过P作PM⊥BP交AC于M，求证：PM=PB；
（3）在（2）的条件下，过B任作直线BG，MG⊥BG于G，连接PG，∠PGM的度数是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出点A，B坐标，进而判断出OB=OC，确定出点C的坐标，最后用待定系数法求出直线AC解析式；
（2）作出辅助线，先判断出四边形AEPF是正方形吗，进而判断出△PBE≌△PMF，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论计算，先判断出P、B、M、G四点共圆，用圆内接四边形的性质即可．

解答 （1）解：∵直线AB的解析式为y=x+6，
∴A（-6，0），B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵AC⊥AB，
∴∠OAC=90°-∠OAB=90°-45°=45°，
∵∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴OC=OA=6，
∴C（-6，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{b=-6}\end{array}\right.$
解得，k=-1，b=-6，
∴直线AC的解析式为y=-x-6；
（2）证明：如图1，

作PE⊥AB于E，作PF⊥AC于F，
由（1）可知AO平分∠BAC，∠BAC=90°，
∴PE=PF，四边形AEPF是正方形，
∴∠EPF=90°，
∵PM⊥BP，
∴∠BPM=90°，
∴∠BPE=∠MPF（同角的余角相等），
在△PBE和△PMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠PFM}\\{PE=PF}\\{∠BPE=∠MPF}\end{array}\right.$
∴△PBE≌△PMF（ASA），
∴PM=PB；

（3）解：∠PGM的度数不变，解答如下：
①如图2，

当G在PM的上方时，连接BM，
由（2）可知PM=PB，
∵PM⊥BP，
∴∠BPM=90°，∠PBM=45°，
又∵MG⊥BG，
∴∠BPM+∠BGM=180°，
∴P、B、G、M四点在以BM为直径的圆上，
∴∠PGM=∠PBM，
∴∠PGM=45°；

②如图3，

当G在PM的下方时，连接BM，
由（2）可知PM=PB，
∵PM⊥BP，
∴∠BPM=90°，∠PBM=45°，
又∵MG⊥BG，
∴∠BPM=∠BGM=90°，
∴P、B、M、G四点在以BM为直径的圆上，
∴∠PGM+∠PBM=180°，
∴∠PGM=180°-∠PBM=180°-45°=135°；
综上所述，∠PGM的度数不变，
即：当G在PM的上方时，∠PGM=45°；当G在PM的下方时，∠PGM=135°．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，四点共圆，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断P、B、M、G四点共圆．