Question

3．已知在Rt△ABC中，BC=6，CD是斜边AB上的中线，点G是△ABC的重心，将△ADC绕重点G旋转，得到△A₁D₁C₁，并且C₁D₁∥AB，直线A₁D₁⊥AC，设直线A₁C₁、A₁D₁分别交AC于点E，F，那么EF的长为$\frac{5\sqrt{3}}{3}$或3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分两种情形：①如图1中，延长C₁D₁交AC于M．只要证明∠A=30°，求出AC、AB、CC₁、EC₁/、A₁E即可解决问题．②如图2中，在Rt△EFD₁中，因为∠EFD₁=90°，ED₁=6，∠FED₁=30°，根据cos30°=$\frac{EF}{E{D}_{1}}$，即可计算．

解答 解：①如图1中，延长C₁D₁交AC于M．

∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴∠DAC=∠DCA=∠A₁=∠A₁C₁M，
∵C₁M∥AB，
∴∠A=∠EMC₁=∠A₁C₁M，
∴∠A₁EF=∠EMG+∠EC₁M=2∠CMG=2∠A₁，
∵A₁D₁⊥AC，
∴∠A₁FE=90°，
∴∠A₁=30°，∠A₁EF=∠CEC₁=60°，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°BC=6，
∴AB=2AC=12，AC=A₁C₁=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∵GC₁∥DB，
∴$\frac{CG}{GD}$=$\frac{C{C}_{1}}{B{C}_{1}}$=2，
∴CC₁=4，
在Rt△ECC₁中，∵∠ECC₁=90°，∠CEC₁=60°，
∴sin60°=$\frac{C{C}_{1}}{E{C}_{1}}$，
∴EC₁=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴A₁E=6$\sqrt{3}$-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△A₁EF中，∵∠A₁FE=90°，∠A₁=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$A₁E=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

②如图2中，

同理可证∠A=∠A₁=∠FEG=30°，
在Rt△EFD₁中，∵∠EFD₁=90°，ED₁=6，∠FED₁=30°，
∴cos30°=$\frac{EF}{E{D}_{1}}$，
∴EF=3$\sqrt{3}$，
综上所述，EF的长为$\frac{5\sqrt{3}}{3}$或3$\sqrt{3}$．
故答案为$\frac{5\sqrt{3}}{3}$或3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查旋转变换、三角形的重心、直角三角形斜边中线的性质、平行线的性质、直角三角形30度角性质、勾股定理等知识，解题的关键是发现特殊角30°，注意学会分类讨论，不能漏解，属于中考填空题中的压轴题．