Question

8．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，
①当∠EAC=90°时，求PB的长；
②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值．

Answer 1

分析 （1）欲证明BD=CE，只要证明△ABD≌△ACE即可．
（2）①分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB-AE=1．由△PEB∽△AEC，得$\frac{PB}{AC}$=$\frac{BE}{CE}$，由此即可解决问题．b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．解法类似．
②a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．分别求出PB即可．

解答 （1）证明：如图1中，

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ADB≌△AEC，
∴BD=CE．

（2）①解：a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB-AE=1．

∵∠EAC=90°，
∴CE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC．
∴$\frac{PB}{AC}$=$\frac{BE}{CE}$，
∴$\frac{PB}{2}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴PB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．


∵∠EAC=90°，
∴CE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∽△AEC，
∴$\frac{PB}{AC}$=$\frac{BE}{CE}$，
∴$\frac{PB}{2}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
∴PB=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
综上，PB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

②解：a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．

理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）
∵AE⊥EC，
∴EC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=$\sqrt{3}$，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD=AE=1，
∴PB=BD-PD=$\sqrt{3}$-1．
b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．

理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）
∵AE⊥EC，
∴EC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE=$\sqrt{3}$，
∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，
∴四边形AEPD是矩形，
∴PD=AE=1，
∴PB=BD+PD=$\sqrt{3}$+1．
综上所述，PB长的最小值是$\sqrt{3}$-1，最大值是$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．