Question

13．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线AP交DE于点P．若AE=AP=1，PB=$\sqrt{6}$，下列结论：
①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为$\sqrt{2}$；③EB⊥ED；
④S_△APD+S_△APB=1+$\sqrt{6}$．⑤S_{正方形ABCD}=4+$\sqrt{6}$．
其中正确结论的序号是①②③．

Answer 1

分析 ①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；
③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；
④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可；
⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB²，即是正方形的面积．

解答 解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∵在△APD和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AP}\\{∠EAB=∠PAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△AEB（SAS）；
故此选项成立；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED；
故此选项成立；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE=$\sqrt{B{P}^{2}-P{E}^{2}}$=2，
∴BF=EF=$\sqrt{2}$，
故此选项正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP=$\sqrt{2}$，
又∵PB=$\sqrt{6}$，
∴BE=2，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=2，
∴S_△ABP+S_△ADP=S_△ABD-S_△BDP=$\frac{1}{2}$S_{正方形ABCD}-$\frac{1}{2}$×DP×BE=$\frac{1}{2}$×（4+$\sqrt{6}$）-$\frac{1}{2}$×2×2=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故此选项不正确．
⑤∵EF=BF=$\sqrt{2}$，AE=1，
∴在Rt△ABF中，AB²=（AE+EF）²+BF²=5+2$\sqrt{2}$，
∴S_{正方形ABCD}=AB²=5+2$\sqrt{2}$，
故此选项不正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．