Question

5．已知，四边形ABCD中，AD=CD．
（1）如图1，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，求∠BAD+∠BCD的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，M、N分别为AB、BC上的点，若∠B=50°，∠MDN=65°，求证：MM=AM+CN．
（3）如图3，若将（2）中∠MDN旋转至如图3位置所示，判断MN、AM、CN的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先用角平分线的性质定理得出DF=DE，再用HL判断出Rt△ADF≌Rt△CDE，进而得出∠DAF=∠BCD，即可得出结论；
（2）在NC上取一点H使CH=AM，借助（1）的结论判断出△ADM≌△CDH，进而判断出△MDN≌△HDN，即可得出结论；
（3）同（2）的方法的判断出△MDN≌△HDN，即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，

过点F作DF⊥AB，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，
∴DF=DE，
在Rt△ADF和Rt△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=DE}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADF≌Rt△CDE，
∴∠DAF=∠BCD，
∵∠BAD+∠DAF=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
（2）如图2，

延长NC使CH=AM，连接DH，
由（1）知，∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠DCM=180°，
∴∠BAD=∠HCD，
在△ADM和△CDH中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠MAD=∠HCD}\\{AM=CH}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CDH，
∴DM=DH，∠ADM=∠CDH，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=50°，∠MDN=65°，
∴∠NDH=∠NDC+∠CDH=∠NDC+∠ADM=65°=∠MDN，
在△MDN和△HDN中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=DH}\\{∠MDN=∠HDN}\\{DN=DN}\end{array}\right.$，
∴△MDN≌△HDN，
∴MN=HN=CN+CH=CN+AM；
（3）如图3，

在CN上截取CH=AM，
同（2）的方法得出，△MDN≌△HDN，
∴MN=HN=CN-CH=CN-AM．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，解本题的关键是得出∠MDN=∠HDN，还用到类比的思想．