【题目】已知:如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,对角线AC、BD相交于点O.过点O作一直角∠MON,直角边OM、ON分别与OA、OB重合,然后逆时针旋转∠MON,旋转角为θ(0°<θ<90°),OM、ON分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G,则下列结论中正确的是________(填序号).
①;②S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:2;③;④OGBD=AE2+CF2;⑤在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,.
【答案】①③④
【解析】
①②③证明△BOE≌△COF,结合正方形的性质可判断;④证明,结合△BOE≌△COF的性质即可证得;⑤作OH⊥BC,表示出S△BEF+S△COF,即可判断.
①∵四边形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,
∴∠BOF+∠COF=90°,
∵∠EOF=90°,
∴∠BOF+∠COE=90°,
∴∠BOE=∠COF,
在△BOE和△COF中,
,
∴△BOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,BE=CF,
∴EF=OE;故①正确;
②∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD,
∴S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4;故②错误;
③∴BE+BF=BF+CF=BC=OA;故③正确;
④∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵在中,
∴
∴,故④正确;
⑤过点O作OH⊥BC,
∵BC=1,
∴OH=BC=,
设AE=,则BE=CF=1-,BF=,
∴S△BEF+S△COF=BEBF+CFOH=(1-)+(1-)×=-(-)2+,
∵<0,
∴当=时,S△BEF+S△COF最大;
即在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=;故⑤错误;
故答案为①③④.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=12,E为AD中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,则折痕EF的长是_____.
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【题目】人类的血型一般可分为A,B,AB,O型四种,宁波市中心血战2015年共有8万人无偿献血,血战统计人员由电脑随机选出20人,血型分别是:
O,A,O,B,O,A,A,AB,A,O,O,B,AB,B,O,A,O,B,O,A.
(1)请设计统计表分类统计这20人各类血型人数;
(2)若每位献血者平均献血200毫升,一年中宁波市各医院O型血用血量约为6×106毫米,请你估计2015年这8万人所献的O型血是否够用?
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【题目】如图,长方形纸片 ABCD,AD∥BC,将长方形纸片折叠, 使点 D 与点 B 重合,点 C 落在点 C'处,折痕为 EF.
(1)求证:BE=BF.
(2)若∠ABE=18°,求∠BFE 的度数.
(3)若 AB=4,AD=8,求 AE 的长.
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【题目】如图,在△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC,交AB于点D.
(1)作⊙O,使⊙O经过A、C、D三点(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)判断直线 BC与⊙O的位置关系,并说明理由.
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【题目】学习了相似三角形的知识后,爱探究的小明下晚自习后利用路灯的光线去测量了一路灯的高度,并作出了示意图:如图,路灯(点P)距地面若干米,身高1.6米的小明站在距路灯的底部(O点)20米的A点时,身影的长度AM为5米;
(1)请帮助小明求出路灯距地面的高度;
(2)若另一名身高为1.5米小龙站在直线OA上的C点时,测得他与小明的距离AC为7米,求小龙的身影的长度.
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【题目】如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径作⊙O,交AC于点D,连接DB,过点D作DE⊥BC,垂足为E.
(1)求证:AD=CD.
(2)求证:DE为⊙O的切线.
(3)若∠C=60°,DE=,求⊙O半径的长.
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【题目】如图,点在反比例函数上,轴于点,点在轴正半轴上,,、的长是方程的两个实数根,且,点是线段延长线上的一个动点,的外接圆与轴的另一个交点是.
(1)求点和点的坐标;
(2)求反比例函数的解析式;
(3)连接求的值.
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,//,且分别交对角线AC于点E,F,连接BE,DF.
(1)求证:AE=CF;
(2)若BE=DE,求证:四边形EBFD为菱形.
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