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【题目】如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB=CD.

(1)如图(1),求证:AD∥BC;

(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DG∥AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF;

(3)在(2)的条件下,若DG平分∠ADC,GE=5,tan∠ADF=4,求⊙O的半径。

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)

【解析】试题分析:(1)连接AC.由弦相等得到弧相等进一步得到圆周角相等即可得出结论.

2)延长ADN,使DN=AD,连接NC.得到四边形ABED是平行四边形,从而有AD=BEDN=BE.由圆内接四边形的性质得到∠NDC=∠B.即可证明ΔABE≌ΔCND,得到AE=CN,再由三角形中位线的性质即可得出结论.

3)连接BG,过点AAHBC,由(2)知∠AEB=∠ANC,四边形ABED是平行四边形,得到AB=DE.再证明ΔCDE是等边三角形,ΔBGE是等边三角形,通过解三角形ABE得到ABHBAHHE的长,由EC=DE=AB,得到HC的长.在RtAHC中,由勾股定理求出AC的长.

作直径AP,连接CP,通过解△APC即可得出结论.

试题解析:(1)连接AC.∵AB=CD∴弧AB=CD,∴∠DAC=∠ACB,∴ADBC

2)延长ADN,使DN=AD,连接NC.∵ADBCDGAB,∴四边形ABED是平行四边形,∴AD=BE,∴DN=BE.∵ABCD是圆内接四边形,∴∠NDC=∠B.∵AB=CD,∴ΔABE≌ΔCND,∴AE=CN.∵DN=ADAF=FC,∴DF=CN,∴AE=2DF

3)连接BG,过点AAHBC,由(2)知∠AEB=∠ANC,四边形ABED是平行四边形,∴AB=DE

DFCN,∴∠ADF=∠ANC,∴∠AEB=∠ADF,∴tanAEB= tanADF=DG平分∠ADC,∴∠ADG=∠CDG.∵ADBC,∴∠ADG=∠CED,∠NDC=∠DCE.∵∠ABC=∠NDC,∴∠ABC=∠DCE.∵ABDG,∴∠ABC=∠DEC,∴∠DEC=∠ECD=∠EDC,∴ΔCDE是等边三角形,∴AB=DE=CE.∵∠GBC=∠GDC=60°,∠G=∠DCB=60°,∴ΔBGE是等边三角形,BE= GE=tanAEB= tanADF=,设HE=x,则AH= .∵ABE=DEC=60°,∴∠BAH=30°,BH=4xAB=8x4x+x=解得x=AB=8HB=4AH=12EC=DE=AB=,∴HC=HE+EC==.在RtAHC中,AC==

作直径AP,连接CP,∴∠ACP=90°,∠P=∠ABC=60°,∴sinP=,∴,∴⊙O的半径是

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(1)小新的速度为_____/分,a=_____;并在图中画出y2x的函数图象

(2)求小新路过小华家后,y1x之间的函数关系式.

(3)直接写出两人离小华家的距离相等时x的值.

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分组

频数

频率

74.5≤x<79.5

2

0.04

79.5≤x<84.5

a

0.16

84.5≤x<89.5

20

0.40

89.5≤x<94.5

16

0.32

94.5≤x<100.5

4

b

合计

50

1

(1)频数、频率分布表中a=   ,b=   

(2)补全频数分布直方图;

(3)初赛成绩在94.5≤x<100.5分的四位同学恰好是七年级、八年级各一位,九年级两位,学生处打算从中随机挑选两位同学谈一下决赛前的训练,则所选两位同学恰好都是九年级学生的概率为   

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=__(结果保留根号).

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①作△ABC的角平分线AD

②作边AB的垂直平分线EFEFAD相交于点P

③连接PBPC

请你观察图形解答下列问题:

2)线段PAPBPC之间的数量关系是   ;请说明理由.

3)若∠ABC70°,求∠BPC的度数.

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