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【题目】如图①,四边形ABCD为正方形,点EF分别在ABBC上,且∠EDF=45°,易证:AE+CF=EF(不用证明).

1)如图②,在四边形ABCD中,∠ADC=120°DA=DC,∠DAB=BCD=90°,点EF分别在ABBC上,且∠EDF=60°.猜想AECFEF之间的数量关系,并证明你的猜想;

2)如图③,在四边形ABCD中,∠ADC=2αDA=DC,∠DAB与∠BCD互补,点EF分别在ABBC上,且∠EDF=α,请直接写出AECFEF之间的数量关系,不用证明.

【答案】1AE+CF=EF,证明见解析;(2,理由见解析.

【解析】

1)由题干中截长补短的提示,再结合第(1)问的证明结论,在第二问可以用截长补短的方法来构造全等,从而达到证明结果.

2)同理作辅助线,同理进行即可,直接写出猜想,并证明.

1)图2猜想:AE+CF=EF

证明:在BC的延长线上截取CA'=AE,连接A'D

∵∠DAB=BCD=90°

∴∠DAB=DCA'=90°

又∵AD=CDAE=A'C

∴△DAE≌△DCA'SAS),

ED=A'D,∠ADE=A'DC

∵∠ADC=120°

∴∠EDA'=120°

∵∠EDF=60°

∴∠EDF=A'DF=60°

DF=DF

∴△EDF≌△A'DFSAS),

EF=A'F=FC+CA'=FC+AE

2)如图3AE+CF=EF

证明:在BC的延长线上截取CA'=AE,连接A'D

∵∠DAB与∠BCD互补,∠BCD+DCA'=180°

∴∠DAB=DCA'

又∵AD=CDAE=A'C

∴△DAE≌△DCA'SAS),

ED=A'D,∠ADE=A'DC

∵∠ADC=2α

∴∠EDA'=2α

∵∠EDF=α

∴∠EDF=A'DF=α

DF=DF

∴△EDF≌△A'DFSAS),

EF=A'F=FC+CA'=FC+AE

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