Question

【题目】如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）40°．

【解析】

试题（1）连接BD，根据线段垂直平分线的性质可得BD=CD，再利用“HL”证明Rt△BDF和Rt△CDE全等，可得DE=DF，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可得到结论；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CDE=∠BDF，求出∠BDC=∠EDF，再根据四边形的内角和定理求出∠EDF，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．

试题解析：（1）如图，连接BD，∵DH垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BDF和Rt△CDE中，∵BD=CD，BF=CE，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴DE=DF，∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC；

（2）∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠CDE=∠BDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠BAC=80°，∴∠EDF=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∴∠BDC=100°，∵BD=CD，∴∠DCB=（180°﹣100°）=40°．