Question

【题目】如图，是半圆的直径，、、是半圆的四等分点，于，连接、相交于点，连接、，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ）

A. ①②③ B. 只有①② C. 只有①③ D. 只有③

Answer 1

【答案】C

【解析】

连结OC、BC、OD，OD交CE于G，如图，由于C、D、E是半圆的四等分点，根据垂径定理得到OD⊥CE，CE=2CG，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=45°，根据圆周角定理得∠BCE=∠ABC，再证明四边形CHOG为正方形，则CH=CG，所以CE=2CH；利用等角的余角相等得∠ACH=∠ABC，而∠CEH所对的弧大于AC弧，则∠CEH＞∠ABC，所以∠ACH＜∠CEH；利用CE∥AB得到∠CFD=∠ABD，而∠ABD=2∠ABC=2∠ACH，于是有∠CFD=2∠ACH．

连结OC、BC、OD，OD交CE于G，如图：

∵C、D、E是半圆的四等分点，
∴OD⊥CE，∠AOC=∠COD=45°，∠BCE=∠ABC，
∴CE=2CG，CE∥AB
∵CH⊥AB，
∴四边形CHOG为正方形，
∴CH=CG，
∴CE=2CH，所以①正确；
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACH=∠ABC，
而∠CEH所对的弧大于AC弧，
∴∠CEH＞∠ABC，
∴∠ACH＜∠CEH，所以②错误；
∵CE∥AB，
∴∠CFD=∠ABD，
∵弧AC=弧CD，
∴∠ACB=∠CBD，
∴∠ABD=2∠ABC=2∠ACH，
∴∠CFD=2∠ACH，所以③正确．
故选：C．