Question

【题目】如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．

（1）求证：AE＝AF；

（2）若BC＝4，AC＝3，求⊙O的半径长．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）r＝

【解析】

（1）连接OD，根据切线的性质得到,根据平行线的判定定理得到,根据等腰三角形的性质可得到∠OED＝∠ODE，等量代换得到∠OED＝∠F，可得结论.

（2）根据相似三角形的性质和判定即可得到结论.

证明：（1）连接OD，如图所示：

∵ BC切⊙O于点D

∴OD⊥BC

∴∠ODC＝90°，

又∵∠ACB＝90°，

∴

∴∠ODE＝∠F

∵OE＝OD，

∴∠OED＝∠ODE，

∴∠OED＝∠ F，

∴AE＝AF

（2）∵，

∴△BOD∽△BAC，

∴

∵BC＝4，AC＝3，

由勾股定理得， ,

设OA=OD=r，

则，解得:r＝．