Question

【题目】如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D（其中 BD>CD），BE⊥AC 于 E，AD 与 BE 相交于点 F，直线 AD 与△BCF 的外接圆 O 交于点 H，点 M 在圆 O 上，满足弧 HM=弧 CF，连接 FM．

（1）求证：AF=CM；

（2）若∠ABE=45°，FH ，圆O的直径为，求BF的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）根据AD⊥BC，BE⊥AC得∠BDF=∠AEF=90°，再由得CM∥HF，证明四边形AFMC为平行四边形即可求证AF=CM；

（2）连接BM，过点O作OG⊥CM于点G，交AH于点P，过点M作MN⊥AH于点N，连接PH，先证BM为直径，设AF=5a，根据直径为，解出a的值，分别求出MN，FD的值，再根据△FBD∽△FNM，求出BF的值.

（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠BDF=∠AEF=90°，

∵∠AFE=∠BFD（对顶角），

∴∠FBD=∠EAF，

∵∠FBC和∠CMF都是对应的圆周角，

∴∠FBC=∠CMF，

∴∠EAF=∠CMF，

∵，

∴CM∥HF，

∴∠CMF=∠MFH，

∴∠MFH=∠EAF，

∴AC∥FM，

∴四边形AFMC为平行四边形，

∴AF=CM；

（2）连接BM，过点O作OG⊥CM于点G，交AH于点P，过点M作MN⊥AH于点N，连接PH，

∵AD⊥BC，CM∥AD，

∴CM⊥BC，

∴∠BCM=90°，

∴BM为直径，

设AF=5a，

∴CM=AF=5a，

∵OG⊥CM，

∴GM=，

∴OG=，

∵直径为，

则，解得a=1，

∴AF=CM=5，

∵FH ，

∴FH=7，

∵OG⊥CM，AH∥CM，

∴OP⊥FH，

∴PH=，

在Rt△OPH中，

OP=，

∴MN=GP=2，

∵MN⊥AH，BC⊥AH，

∴四边形MNDC为矩形，

∴DN=CM=5，

∴FD=NH=1，

∴FN=6，

在Rt△MNF中，

FM=，

∵∠FBD=∠CMF，∠CMF=∠MFH，

∴∠FBD=∠MFN，

又∵∠BDF=∠FNM=90°，

∴△FBD∽△FNM，

∴，

∴，

∴.

，