Question

12．关于x的二次函数y=x²+（2n+1）x+n，它的图象为抛物线C_n，顶点为M_n．
（1）求顶点M_n的坐标（用含n的代数式表示）．
（2）设纵坐标值最大的抛物线顶点为M，该抛物线记为C，（如图）C与x轴的两个交点为A，B，A在B的左侧，C的对称轴l与x轴交于点D，l上是否存在点P使△ADP与△MDO相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）我们知道n取不同的值，二次函数的解析式就不同，图象自然也不同了，是否存在定点T，无论n取什么实数，T都在它的图象上？若存在，求点T坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把抛物线解析式化为顶点式，即可求解；
（2）先根据题意确定n的值，求出点A，M，D的坐标，根据相似分类讨论即可求出符合条件的点P坐标；
（3）由题意分析，“与n的值无关”即解析式中n的系数为0，即可求解．

解答 解：（1）y=x²+（2n+1）x+n=$（x+\frac{2n+1}{2}）^{2}$+$\frac{-4{n}^{2}-1}{4}$，
∴M_n（$-\frac{2n+1}{2}$，$\frac{-4{n}^{2}-1}{4}$）；
（2）如图1，

当n=0时，$\frac{-4{n}^{2}-1}{4}$的值最大，此时$\frac{-4{n}^{2}-1}{4}$=-$\frac{1}{4}$，
此时抛物线的解析式为：y=x²+x，
令y=0，解得：x=0，或x=-1，
∴点A（-1，0），B（0，0），
易求抛物线的对称轴l：x=$-\frac{1}{2}$，点M（$-\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$），
此时，DM=$\frac{1}{4}$，DO=$\frac{1}{2}$，AD=$\frac{1}{2}$，
当△ADP与△MDO相似时，
$\frac{AD}{DM}=\frac{DP}{DO}$，
解得：DP=1，
此时，P₂（$-\frac{1}{2}$，1），P₃（$-\frac{1}{2}$，-1）；
当△ADP与△ODM相似时，
$\frac{AD}{DO}=\frac{DP}{DM}$，
解得：DP=$\frac{1}{4}$，
此时，P₁（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），P₄（$-\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）；
综上所述：满足条件的点P的坐标为：
P₂（$-\frac{1}{2}$，1），P₃（$-\frac{1}{2}$，-1），P₁（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），P₄（$-\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）；
（3）由y=x²+（2n+1）x+n，
整理得：（2x+1）n+x²+x-y=0，
由题意，2x+1=0，且x²+x-y=0，
解得：x=$-\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{4}$；
将x=$-\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{4}$代入抛物线解析式恒成立，
所以符合条件的点T存在，其坐标为：T（$-\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）．

点评 此题主要考查二次函数的综合问题，会把抛物线配方为顶点式，会根据相似三角形的性质分类解决点的存在性问题，知道抛物线恒过某一点的条件是解题的关键．