Question

17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C=60°，AD是⊙O的直径，Q是AD延长线上的一点，且BQ=AB．
（1）求证：BQ是⊙O的切线；
（2）若AQ=6．
①求⊙O的半径；
②P是劣弧AB上的一个动点，过点P作EF∥AB，EF分别交CA、CB的延长线于E、F两点，连接OP，当OP和AB之间是什么位置关系时，线段EF取得最大值？判断并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据同弧所对的圆周等于圆心角的一半，结合等腰三角形的性质，可求∠OBQ=90°；
（2）①设出半径，表示出OQ，运用三角函数建立方程即可求解；
②过点C作CH⊥EF，垂足为H，交AB于点K，推理出“EF随着HK的增大而增大，当HK取最大值时，EF取最大值”即可求解．

解答 解：如图1，

（1）连接OB，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵BQ=AB，
∴∠Q=∠OAB=30°，
∴∠ABQ=120°，
∴∠OBQ=90°，
∴BQ是⊙O的切线；
（2）①设圆的半径为r，则OQ=6-r，
由（1）知，∠Q=30°，∠OBQ=90°，
∴$\frac{OB}{OQ}$=sin30°=$\frac{1}{2}$
∴$\frac{r}{6-r}$=$\frac{1}{2}$，
解得：r=2；
②如图2，

当OP垂直平分AB时，线段EF取得最大值；
理由如下：
由（1）知，AQ=6，∠Q=∠BAQ=30°，
可求AB=$2\sqrt{3}$，
过点C作CH⊥EF，垂足为H，交AB于点K，
∵EF∥AB，
∴CK⊥AB，△ABC∽△EFC，
∴$\frac{AB}{EF}=\frac{CK}{CH}$，
∴EF=$\frac{AB•CH}{CK}$=$2\sqrt{3}$×$\frac{CK+HK}{CK}$=$2\sqrt{3}$+$2\sqrt{3}$•$\frac{HK}{CK}$，
易知：CK是定值，所以，EF随着HK的增大而增大，
当HK取最大值时，EF取最大值，
∴当点P为劣弧AB的中点时，HK最大，此时OP垂直平分AB．

点评 此题主要考查圆的综合问题，会证明圆的切线，会运用方程思想解决问题，熟悉等腰三角形的性质并灵活运用，会结合相似三角形的性质进行推理是解题的关键．