Question

2．如果设二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0）．则A、B两个交点间的距离为：$\begin{array}{l}AB=|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{{{（-\frac{b}{a}）}^2}-\frac{4c}{a}}=\sqrt{\frac{{{b^2}-4ac}}{a^2}}=\frac{{\sqrt{{b^2}-4ac}}}{|a|}.\end{array}$
请你参考以上结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为等腰直角三角形时，求b²-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，直接写出b²-4ac的值；
（3）设抛物线y=x²+kx+1与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且∠ACB=90°，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB=60°？

Answer 1

分析 （1）由于抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b²-4ac＞0；套用材料中的公式可求得线段AB的表达式，利用公式法可得到顶点C的纵坐标，进而求得斜边AB上的高（设为CD），若△ABC为等腰直角三角形，那么AB=2CD，可根据这个等量关系求出b²-4ac的值．
（2）方法同（1），只不过AB、CD的等量关系为：$\sqrt{3}$AB=2CD．
（3）若要改变∠ACB的大小，就必须向上或向下平移抛物线；首先根据（1）题的结论求出k的值，然后设出平移后的抛物线解析式，进而套用（2）的结论求出平移的距离，由此确定平移方案．

解答 解：（1）当△ABC为等腰直角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则AB=2CD；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴|b²-4ac|=b²-4ac，
∵AB=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$，
∵CD=$\frac{1}{2}$AB，
又∵CD=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2|a|}$，a≠0，
∴$\sqrt{{b}^{2}-4ac}$=$\frac{{b}^{2}-4ac}{2}$，
即$\sqrt{{b}^{2}-4ac}$=$\sqrt{\frac{（{b}^{2}-4ac）^{2}}{4}}$，
∴b²-4ac=$\frac{（{b}^{2}-4ac）^{2}}{4}$，
∵b²-4ac≠0，
∴b²-4ac=4．
（2）当△ABC为等边三角形时，b²-4ac=12．（解法同（1）．）
（3）∵∠ACB=90°，
∴b²-4ac=4，即k²-4=4，
∴k=±2$\sqrt{2}$；
因为向左或向右平移时∠ACB的度数不变，
所以只需将抛物线y=x²±2$\sqrt{2}$x+1向上或向下平移使∠ACB=60°，然后向左或向右平移任意个单位即可．
设向上或向下平移后的抛物线的解析式为：
y=x²±2$\sqrt{2}$x+1+m，
∵平移后∠ACB=60°，
∴b²-4ac=12，
∴m=-2，
∴抛物线y=x²+kx+1向下平移2个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使∠ACB的度数由90°变为60°．

点评 此题主要考查了根与系数的关系，用公式法求抛物线顶点坐标的方法以及直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形的性质，解决此题的关键是读懂题意，弄清题目所给公式的含义．