Question

13．若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x₁、x₂，且x₁＜x₂，则下列结论中错误的是（　　）

• A． 当m=0时，x₁=2，x₂=3
• B． m＞-$\frac{1}{4}$
• C． 当m＞0时，2＜x₁＜x₂＜3
• D． 二次函数y=（x-x₁）（x-x₂）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）

Answer 1

分析 根据方程的解的定义可以判定A正确；根据二次函数的最值问题，且结合题意可以判定B正确；根据二次函数与x轴交点的有关性质可以判定C错误；根据二次函数的定义可以判定D正确．

解答 解：①∵m=0时，方程为（x-2）（x-3）=0，
∴x₁=2，x₂=3，故A正确；
②设y=（x-2）（x-3）=x²-5x+6=（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴y的最小值为-$\frac{1}{4}$，
③∵一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x₁、x₂，且x₁＜x₂
∴m＞-$\frac{1}{4}$，故B正确；
∵m＞O时，y=（x-2）（x-3）＞0，函数y′=（x-2）（x-3）-m与x轴交于（x₁，0），（x₂，0），
∴x₁＜2＜3＜X₂，
故C错误；
④∵y=（x-x₁）（x-x₂）+m=（x-2）（x-3）-m+m=（x-2）（x-3），
∴函数与x轴交于点（2，0），（3，0）．故D正确．
故选C．

点评 本题考查抛物线与x轴交点问题、一元二次方程与抛物线的关系、函数图象的平移问题，解题的关键是理解题意以及掌握一元二次方程与二次函数的关系，属于中考常考题型．