Question

20．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC，过点C作CE⊥DB，垂足为点E，直线AB与CE交于点F．
（1）求证：CF为⊙O的切线．
（2）当∠CAB=30°时，从点A、C、F、D为顶点的四边形是菱形．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由等腰三角形的性质好已知条件得出∠BOC=∠ABD，得出OC∥DE，证出CE⊥OC，即可得出CF为⊙O的切线．
（2）指出∠CFA=30°=∠BAC，得出AC=CF，由圆周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，证出∠ABC=∠ABD，得出$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，证出AC=AD，因此△ACD是等边三角形，由等边三角形的性质得出AB垂直平分CD，由垂直平分线的性质得出DF=CF，证出AC=AD=CF=DF，即可得出结论．

解答 （1）证明：连接OC，如图1所示：
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC，
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠BOC=∠ABD，
∴OC∥DE，
∵CE⊥DB，
∴CE⊥OC，
∴CF为⊙O的切线．
（2）解：当∠CAB=30°，以点A、C、F、D为顶点的四边形是菱形．理由如下：
连接AD、CD、DF，如图2所示：
由（1）得：∠BOC=2∠BAC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴∠ADC=60°，
∵CE⊥OC，
∴∠OCF=90°，
∴∠CFA=30°=∠BAC，
∴AC=CF，
∵CE⊥DE，
∴∠ABD=∠EBF=90°-30°=60°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠ABC=90°-30°=60°=∠ABD，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，
∴AC=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴AB垂直平分CD，
∴DF=CF，
∴AC=AD=CF=DF，
∴四边形ACFD是菱形；
故答案为：30°．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要证明等边三角形和运用线段垂直平分线的性质才能得出结论．