Question

3．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE=AB=10．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为10+5$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得NG=5$\sqrt{5}$．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG取最大值10+5$\sqrt{5}$．

解答 解：取DE的中点N，连结ON、NG、OM．
∵∠AOB=90°，
∴OM=$\frac{1}{2}$AB=5．
同理ON=5．
∵正方形DGFE，N为DE中点，DE=10，
∴NG=$\sqrt{D{N}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{5}$．
在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），
由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON=$\frac{1}{2}$∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．
∴线段MG取最大值10+5$\sqrt{5}$．
故答案为：10+5$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、O、N、G四点共线，则线段MG长度的最大是解题关键．