Question

【题目】如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），

（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求弧AQ的长（图1）；

（2）若∠AOB=120°，求AB的长（图2）；

（3）如果线段AB与圆O有两个公共点A、M，当AO⊥PM于点N时，求 的值（图3）．

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）．

【解析】（1）根据直角三角形的性质求出∠B的度数，得到∠AOB的度数，再根据弧长的计算公式进行求解即可；

（2）连接AP，过点A作AM⊥BP于M，根据特殊角的三角函数值和已知条件求出AM，再根据BM=OM+OB，求出BM，最后根据勾股定理求出AB；

（3）连接MQ，根据PQ是圆O的直径和AO⊥PM，得出ON∥MQ，求出ON=AO，设ON=x，则AO=4x，根据OA的值求出x的值，再根据PN=，求出PN，最后根据特殊角的三角函数值即可得出答案.

解：（1）∵直线AB与圆O相切，

∴∠OAB=90°，

∵OQ=QB=1，

∴OA=1，OB=2，

∴OA=OB，

∴∠B=30°，

∴∠AOB=60°，

∴AQ==；

（2）如图1，

连接AP，过点A作AM⊥BP于M，

∵∠AOB=120°，∴∠AOP=60°，

∵OM=，∴BM=OM+OB=+2=，

∴AB===；

（3）如图2，连接MQ，

∵PQ为圆O的直径，∴∠PMQ=90°，

∵ON⊥PM，∴AO∥MQ，

∵PO=OQ，

∴ON=MQ，

∵OQ=BQ，

∴MQ=AO，

∴ON=AO，

设ON=x，则AO=4x，

∵OA=1，

∴4x=1，

∴x=，

∴ON=，

∴PN===，

==.