【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m+3)x+m2+2=0.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程两实数根分别为x1、x2,且满足x12+x22=31+|x1x2|,求实数m的值.
【答案】(1)m≥﹣;(2)m=2.
【解析】
(1)利用判别式的意义得到(2m+3)2﹣4(m2+2)≥0,然后解不等式即可;
(2)根据题意x1+x2=2m+3,x1x2=m2+2,由条件得x12+x22=31+x1x2,再利用完全平方公式得(x1+x2)2﹣3x1x2﹣31=0,所以2m+3)2﹣3(m2+2)﹣31=0,然后解关于m的方程,最后利用m的范围确定满足条件的m的值.
(1)根据题意得(2m+3)2﹣4(m2+2)≥0,
解得m≥﹣;
(2)根据题意x1+x2=2m+3,x1x2=m2+2,
因为x1x2=m2+2>0,
所以x12+x22=31+x1x2,
即(x1+x2)2﹣3x1x2﹣31=0,
所以(2m+3)2﹣3(m2+2)﹣31=0,
整理得m2+12m﹣28=0,解得m1=﹣14,m2=2,
而m≥﹣;
所以m=2.
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【题目】如图,抛物线与坐标轴交点分别为,,,作直线BC.
求抛物线的解析式;
点P为抛物线上第一象限内一动点,过点P作轴于点D,设点P的横坐标为,求的面积S与t的函数关系式;
条件同,若与相似,求点P的坐标.
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【题目】A、B两地相距150km,甲、乙两人先后从A地出发向B地行驶,甲骑摩托车匀速行驶,乙开汽车且途中速度只改变一次,如图表示的是甲、乙两人之间的距离S关于时间t的函数图象(点F的实际意义是乙开汽车到达B地),请根据图象解答下列问题:
(1)求出甲的速度;
(2)求出乙前后两次的速度,并求出点E的坐标;
(3)当甲、乙两人相距10km时,求t的值.
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【题目】红灯笼,象征着阖家团圆,红红火火,挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼,用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同,已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元.
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价;
(2)经市场调查发现,乙灯笼每对售价50元时,每天可售出98对,售价每提高1元,则每天少售出2对:物价部门规定其销售单价不高于每对65元,设乙灯笼每对涨价x元,小明一天通过乙灯笼获得利润y元.
①求出y与x之间的函数解析式;
②乙种灯笼的销售单价为多少元时,一天获得利润最大?最大利润是多少元?
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【题目】如图,已知A(–4,n),B(2,–4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;
(3)求不等式的解集(请直接写出答案).
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到,其中点A′与点A是对应点,点B′与点B是对应点,连接AB′,且A、B′、A′在同一条直线上,则AA′的长为______
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【题目】如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于F点,若CF=1,FD=2,则BC的长为【 】
A. B. C. D.
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【题目】已知,如图,在边长为10的菱形ABCD中,cos∠B=,点E为BC边上的中点,点F为边AB边上一点,连接EF,过点B作EF的对称点B′,
(1)在图(1)中,用无刻度的直尺和圆规作出点B′(不写作法,保留痕迹);
(2)当△EFB′为等腰三角形时,求折痕EF的长度.
(3)当B′落在AD边的中垂线上时,求BF的长度.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形的顶点在轴的正半轴上,.对角线相交于点,反比例函数的图像经过点,分别与交于点.
(1)若,求的值;
(2)连接,若,求的面积.
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