Question

如图1，在中，AB=AC，∠ABC =，D是BC边上一点，以AD为边作，使AE=AD，+=180°．

（1）直接写出∠ADE的度数（用含的式子表示）；

（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，

①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；

②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．

Answer 1

（1）

（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，

∴AB∥EF．

∴．

由（1）知，∠ADE = ，

∴．

∴AD⊥BC．

∵AB=AC，

∴BD=CD．

②证明：

∵AB=AC，∠ABC =，

∴．

∵四边形ABFE是平行四边形，

∴AE∥BF,AE=BF．

∴．

由（1）知，，

∴．

∴．

∴AD=CD．

∵AD=AE=BF，

∴BF=CD．

∴BD=CF．

【解析】

试题分析：（1）由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°-2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，继而求得∠ADE的度数；

（2）①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC=∠ABC=α，则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得AD⊥BC，又由AB=AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；

②由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠EAC=∠C=α，又由（1）可证得AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论．

试题解析：（1）∠ADE = ．

（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，

∴AB∥EF．

∴．

由（1）知，∠ADE = ，

∴．

∴AD⊥BC．

∵AB=AC，

∴BD=CD．

②证明：

∵AB=AC，∠ABC =，

∴．

∵四边形ABFE是平行四边形，

∴AE∥BF,AE=BF．

∴．

由（1）知，，

∴．

∴．

∴AD=CD．

∵AD=AE=BF，

∴BF=CD．

∴BD=CF．

【难度】较难