Question

【题目】在平面直角坐标系内，直线与两坐标轴交于、两点，点为坐标原点，若在该坐标平面内有以点（不与点、、重合）为顶点的直角三角形与全等，且这个以点为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的点个数为（ ）

A. 9个 B. 7个 C. 5个 D. 3个

Answer 1

【答案】B

【解析】

可先求得A、B两点的坐标，再分以AB为公共边，以OA为公共边和OB为公共边进行分别讨论求其坐标即可．

解：在y=x+3中，令x=0则y=3，令y=0则x=-4，
∴A为（-4，0），B为（0，3），可求得AB=5，
（Ⅰ）当以AB为公共边时，分两种情况：
（1）当PA=3，PB=4时，当P在x轴上方时，如图1，
可知∠PBA=∠BAO，
∴PB∥OA，
∴P点坐标为（-4，3），

当P点在x轴下方时，如图2，设PB交AO于点C，过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，
∵△PAB≌△OBA，
∴PB=AO=4，PA=OB=3，
设P点坐标为（x，y），则PE=DO=-x，PD=-y，AD=4+x，BE=3-y，
在Rt△PEB中，由勾股定理可得（-x）2+（3-y）2=42，整理可得x2+y2-6y=7①，
在Rt△ADP中，由勾股定理可得（4+x）2+y2=32，整理可得x2+y2+8x=-7②，
由①、②可解得x=-，y=-，
∴此时P点坐标为（-，-）；

（2）当PA=4，PB=3时，
当P在x轴上时则与O点重合，
当P在x轴上方时，如图3，过P作PF⊥x轴，过B作BG⊥PF于点G，
∵△PAB≌△OBA，
∴PB=BO=3，PA=OA=4，
设P点坐标为（x，y），则PF=y，FO=BG=-x，AF=4+x，PG=y-3，
在Rt△AFP中，由勾股定理可得y2+（4+x）2=42，整理可得x2+y2+8x=0③，
在Rt△PGB中，由勾股定理可得x2+（y-3）2=32，整理可得x2+y2-6y=0④，
由③、④可解得x=-，y=，
∴此时P点坐标为（-,）；

（Ⅱ）当以AO为公共边时，分两种情况：
当P点在x上方时，与（-4，3）重合，如图4，
当P点在x下方时，当AP=BO=3时，可求得P点坐标为（-4，-3），
当PO=BO=3时，可求得P点坐标为（0，-3），

（Ⅲ）当以BO为公共边时，分两种情况：
当P点在y轴左侧时，与（-4，3）重合，如图5，
当P点在y轴右侧时，当BP=AO=4时，可求得P点坐标为（4，3），
当OP=OA=4时，可求得P点坐标为（4，0），

综上可知满足条件的P点共有七个，坐标分别为（-4，3）、（-，-）、（-,）、（-4，-3）、（0，-3）、（4，3）、（4，0）．共7点.

故选：B