【题目】如图(1)是一款手机支架,忽略支管的粗细,得到它的简化结构图如图(2)所示.已知支架底部支架CD平行于水平面,EF⊥OE,GF⊥EF,支架可绕点O旋转,OE=20cm,EF=20cm.如图(3)若将支架上部绕O点逆时针旋转,当点G落在直线CD上时,测量得∠EOG=65°.
(1)求FG的长度(结果精确到0.1);
(2)将支架由图(3)转到图(4)的位置,若此时F、O两点所在的直线恰好于CD垂直,点F的运动路线的长度称为点F的路径长,求点F的路径长.
(参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,1.73)
【答案】(1)FG的长度约为3.8cm;(2)
【解析】
(1)作GM⊥OE可得矩形EFGM,设FG=xcm,可知EF=GM=20cm,OM=(20﹣x)cm,根据tan∠EOG=列方程可求得x的值;
(2)RT△EFO中求出OF的长及∠EOF的度数,由∠EOG度数可得旋转角∠FOF′度数,根据弧长公式计算可得.
解:(1)如图,作GM⊥OE于点M,
∵FE⊥OE,GF⊥EF,
∴四边形EFGM为矩形,
设FG=xcm,
∴EF=GM=20cm,FG=EM=xcm,
∵OE=20cm,
∴OM=(20﹣x)cm,
在RT△OGM中,
∵∠EOG=65°,
∴tan∠EOG=,即=tan65°,
解得:x≈3.8cm;
故FG的长度约为3.8cm.
(2)连接OF,
在Rt△EFO中,∵EF=20,EO=20,
∴FO==40,tan∠EOF=,
∴∠EOF=60°,
∴∠FOG=∠EOG﹣∠EOF=5°,
又∵∠GOF′=90°,
∴∠FOF′=85°,
∴点F在旋转过程中所形成的弧的长度为:cm.
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【题目】钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土,为宣誓主权,我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动,如图,一艘海监船以30海里/小时的速度向正北方向航行,海监船在A处时,测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°方向上,航行半小时后,该船到达点B处,发现此时钓鱼岛C与该船距离最短.
(1)请在图中作出该船在点B处的位置;
(2)求钓鱼岛C到B处距离(结果保留根号)
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【题目】如图,已知A(1,5),直线l1:y=x,直线l2过原点且与x轴正半轴成60°夹角,在l1上有一动点M,在l2上有一动点N,连接AM、MN,则AM+MN的最小值为_____.
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【题目】如图,某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物定点A的仰角为60°,沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°.已知BC=60m,山坡的坡比为1:2.
(1)求该建筑物的高度(即AB的长,结果保留根号);
(2)求此人所在位置点P的铅直高度(即PD的长,结果保留根号).
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【题目】【操作发现】
如图①,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上.
(1)请按要求画图:将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,点B的对应点为B′,点C的对应点为C′,连接BB′;
(2)在(1)所画图形中,∠AB′B= .
【问题解决】
如图②,在等边三角形ABC中,AC=7,点P在△ABC内,且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面积.
小明同学通过观察、分析、思考,对上述问题形成了如下想法:
想法一:将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△AP′B,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系;
想法二:将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C′,连接PP′,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系.
…
请参考小明同学的想法,完成该问题的解答过程.(一种方法即可)
【灵活运用】
如图③,在四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,∠BAE=∠ADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB(k为常数),求BD的长(用含k的式子表示).
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【题目】如图,AC是矩形ABCD的对角线,⊙O是△ABC的内切圆,点E是边AD上一点,连结CE,将△CDE绕点C旋转,当CD落到对角线AC上时,点E恰与圆心O重合,已知AE=6,则下列结论不正确的是( )
A. BC+DE=ACB. ⊙O 的半径是2
C. ∠ACB=2∠DCED. AE=CE
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【题目】(2017四川省内江市)如图,已知直线l1∥l2,l1、l2之间的距离为8,点P到直线l1的距离为6,点Q到直线l2的距离为4,PQ=,在直线l1上有一动点A,直线l2上有一动点B,满足AB⊥l2,且PA+AB+BQ最小,此时PA+BQ=______.
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【题目】已知△ABC是等边三角形,四边形ADEF是菱形,∠ADE=120°(AD>AB).
(1)如图①,当AD与边BC相交,点D与点F在直线AC的两侧时,BD与CF的数量关系为___________.
(2)将图①中的菱形ADEF绕点A在平面内逆时针旋转α(0°<α<180°).
Ⅰ.判断(1)中的结论是否仍然成立,请利用图②证明你的结论.
Ⅱ.若AC=4,AD=6,当△ACE为直角三角形时,直接写出CE的长度.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线轴,且直线l与抛物线和y轴分别交于点A,B,C,点D为抛物线的顶点.若点E的坐标为,点A的横坐标为1.
(1)线段AB的长度等于________;
(2)点P为线段AB上方抛物线上的一点,过点P作AB的垂线交AB于点H,点F为y轴上一点,当的面积最大时,求的最小值;
(3)在(2)的条件下,删除抛物线在直线PH左侧部分图象并将右侧部分图象沿直线PH翻折,与抛物线在直线PH右侧部分图象组成新的函数M的图象.现有平行于FH的直线,若直线与函数M的图象有且只有2个交点,求t的取值范围(请直接写出t的取值范围,无需解答过程).
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