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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线轴,且直线l与抛物线y轴分别交于点ABC,点D为抛物线的顶点.若点E的坐标为,点A的横坐标为1.

(1)线段AB的长度等于________

(2)P为线段AB上方抛物线上的一点,过点PAB的垂线交AB于点H,点Fy轴上一点,当的面积最大时,求的最小值;

(3)(2)的条件下,删除抛物线在直线PH左侧部分图象并将右侧部分图象沿直线PH翻折,与抛物线在直线PH右侧部分图象组成新的函数M的图象.现有平行于FH的直线,若直线与函数M的图象有且只有2个交点,求t的取值范围(请直接写出t的取值范围,无需解答过程).

【答案】(1)2 (2) (3) t的取值范围为:t

【解析】

1)先求抛物线y=-x2+4x的对称轴,由于已知点A的坐标,再利用对称性可求点B坐标;从而得AB的长度;
2)先根据BE坐标得出BE的解析式,然后设与其平行的直线为y=x+b,过点Hy=-x的垂线,可求得HFFO,从而得解;
3)可根据顶点位置的变动,得出抛物线y=-x2+4x右侧部分图象沿直线PH翻折后抛物线的解析式;由(2FH直线解析式,平行于FH的直线l1y=mx+t,其m值可求;令y=mx+t与翻折后抛物线相切,可求得t的临界值,结合图象可得最后答案.

解:(1)抛物线y=﹣x2+4x的对称轴为直线

∵点A的横坐标为1.代入y=﹣x2+4x得:y3

A13),由抛物线的对称性得:点B的坐标为(33).

AB2

故答案为:2

2)∵B33),E11),

∴直线BE解析式为yx,作lBE,且与抛物线相切,则可设l的解析式为:yx+b.根据该直线与抛物线相切,列一元二次方程,令其判别式为0,可求得b的值,从而得点P的坐标,进而得点H坐标及PH长,

x+b=﹣x2+4x,即x23x+b0

∴△=94b0b

x23x+0

∴切点为:xy

PH3

过点Hy=﹣x的垂线,交y=﹣x于点G,交y轴于点F,则GFFO,∠FGO=∠OFG=∠CFH=∠CHF45°

PH+HF+FO的最小值为:

3)在(2)的条件下,平行于FH的直线l1ymx+t,若直线l1与函数M的图象有且只有2个交点,

∵∠CFH45°l1FH

m1yx+t

∵抛物线y=﹣x2+4x的顶点D为(24),点H为(3)点P为(),

∴抛物线y=﹣x2+4x右侧部分图象沿直线PH翻折后抛物线顶点为(14),其解析式为y=﹣x2+2x+3

当直线yx+t与抛物线y=﹣x2+2x+3相切时,x+t=﹣x2+2x+3

x2x+t3014t3)=134t0

t

t时直线l1与函数M的图象有且只有2个交点.

t的取值范围为:t

练习册系列答案
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1)求FG的长度(结果精确到0.1);

2)将支架由图(3)转到图(4)的位置,若此时FO两点所在的直线恰好于CD垂直,点F的运动路线的长度称为点F的路径长,求点F的路径长.

(参考数据:sin65°≈0.91cos65°≈0.42tan65°≈2.141.73

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(参考数据:)

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1)求证:DHO的切线;

2)若O的半径为4

AEFE时,求 的长(结果保留π);

时,求线段AF的长.

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【题目】计算

1(xy)22x(xy)     2(a1)(a1)(a1)2

3)先化简,再求值:

(x2y)(x2y)(2x3y4x2y2)÷2xy,其中x=3.

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【题目】定义:若一次函数y=ax+b和反比例函数y=-满足a+c=2b,则称为y=ax2+bx+c为一次函数和反比例函数的“等差”函数.

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3)若一次函数y=ax+b和反比例函数y=-(其中a0c0a=b)存在“等差”函数,且y=ax+b与“等差”函数有两个交点Ax1y1)、Bx2y2),试判断“等差”函数图象上是否存在一点Pxy)(其中x1xx2),使得ABP的面积最大?若存在,用c表示ABP的面积的最大值;若不存在,请说明理由.

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【题目】RtABC,ACB=90°,AC=BC=2,PBC边上的一个动点(不与B.C重合)P关于直线ACAB的对称点分别为MN,连接MNAC于点E,AB于点F.

(1)当点P为线段BC的中点时,求∠M的正切值

(2)当点P在线段BC上运动时(不与B.C重合),连接AMAN,求证:

①△AMN为等腰直角三角形

②△AEF∽△BAM

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1)求抛物线L的解析式;

2)点Px轴上一动点

①如图2,过点Px轴的垂线,与直线1交于点M,与抛物线L交于点N.当点P在点A、点B之间运动时,求四边形AMBN面积的最大值;

②连接ADACCP,当∠PCA=∠ADB时,求点P的坐标.

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a.截止到2018年费尔兹奖得主获奖时的年龄数据的频数分布直方图如图1(数据分成5组,各组是28≤x3131≤x3434≤x3737≤x40x≥40):

b.如图2,在a的基础上,画出扇形统计图;

c.截止到2018年费尔兹奖得主获奖时的年龄在34≤x37这一组的数据是:

36

35

34

35

35

34

34

35

36

36

36

36

34

35

d.截止到2018年时费尔兹奖得主获奖时的年龄的平均数、中位数、众数如下:

年份

平均数

中位数

众数

截止到2018

35.58

m

3738

根据以上信息,回答下列问题:

1)依据题意,补全频数直方图;

231≤x34这组的圆心角度数是度,并补全扇形统计图;

3)统计表中中位数m的值是;

4)根据以上统计图表试描述费尔兹奖得主获奖时的年龄分布特征.

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