Question

【题目】如图1，四边形ABCD，AEFG都是正方形，E、G分别在AB、AD边上，已知AB=4．

（1）求正方形ABCD的周长；

（2）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，求证：BE=DG．

（3）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BE交DG于点H，设BH与AD的交点为M．

①求证：BH⊥DG；

②当AE=时，求线段BH的长（精确到0.1）．

Answer 1

【答案】（1）16；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②5.1

【解析】

根据正方形的周长定义求解；根据正方形的性质得AB=AD，AE=AG，在根据旋转的性质得∠BAE=∠DAG=θ，然后根据“SAS”判断△BAE≌△DAG，则BE=DG；①由BAE≌△DAG得到∠ABE=∠ADG，而∠AMB=∠DMH，根据三角形内角和定理即可得到∠DHM=∠BAM=90°，则BH⊥DG；②连结GE交AD于点N，连结DE，由于正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，由AE=可得到AN=GN=1，所以DN=4﹣1=3，然后根据勾股定理可计算出DG=，则BE=，解着利用S△DEG=GEND=DGHE可计算出HE=，所以BH=BE+HE=≈5．1．

解：（1）正方形ABCD的周长=4×4=16；

（2）∵四边形ABCD，AEFG都是正方形， ∴AB=AD，AE=AG，

∵将正方形AEFG绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°），∴∠BAE=∠DAG=θ，

在△BAE和△DAG，，

∴△BAE≌△DAG（SAS），

∴BE=DG；

（3）①证明：∵△BAE≌△DAG，∴∠ABE=∠ADG，又∵∠AMB=∠DMH，∴∠DHM=∠BAM=90°，∴BH⊥DG；

②解：连结GE交AD于点N，连结DE，如图，∵正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，

∴AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，

∵AE=，∴AN=GN=1， ∴DN=4﹣1=3，

在Rt△DNG中，DG=； ∴BE=，

∵S△DEG=GEND=DGHE， ∴HE=，

∴BH=BE+HE=≈5.1．