Question

11．如图：对称轴x=-1的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（-3，0），且点（2，5）在抛物线y=ax²+bx+c上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点C为抛物线与y轴的交点．
①点P在抛物线上，且S_△POC=4S_△BOC，求点P点坐标．
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

Answer 1

分析 （1）因为抛物线的对称轴为x=-1，A点坐标为（-3，0）与（2，5）在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答；
（2）①先由二次函数的解析式为y=x²+2x-3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x²+2x-3），根据S_△POC=4S_△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-3，再设Q点坐标为（x，-x-3），则D点坐标为（x，x²+2x-3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．

解答 解：（1）因为抛物线的对称轴为x=-1，A点坐标为（-3，0）与（2，5）在抛物线上，则：
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{4a+2b+c=5}\\{-\frac{b}{2a}=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
所以抛物线的解析式为：y=x²+2x-3．
（2）二次函数的解析式为y=x²+2x-3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，-3），OC=3．
设P点坐标为（x，x²+2x-3），
∵S_△POC=4S_△BOC，
∴$\frac{1}{2}$×3×|x|=4×$\frac{1}{2}$×3×1，
∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x²+2x-3=16+8-3=21；
当x=-4时，x²+2x-3=16-8-3=5．
∴点P的坐标为（4，21）或（-4，5）；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（-3，0），C（0，-3）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+t=0}\\{t=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{t=-3}\end{array}\right.$．
即直线AC的解析式为y=-x-3．
设Q点坐标为（x，-x-3）（-3≤x≤0），则D点坐标为（x，x²+2x-3），
QD=（-x-3）-（x²+2x-3）=-x²-3x=-$（x+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$，
∴当x=-$\frac{3}{2}$时，QD有最大值$\frac{9}{4}$．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．