Question

16．如图，已知直线l的解析式是y=$\sqrt{3}$x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l垂线交y轴于点A₁；过点A₁作y轴的垂线交直线l于点B₁，过点B₁作直线l的垂线交y轴于点A₂…，按此作法继续下去，则点A₂₀₁₄的纵坐标为（$\frac{4}{3}$）²⁰¹⁴．

Answer 1

分析 根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A₁，A₂的坐标，通过相应规律得到A₂₀₁₄坐标即可

解答 解：∵直线l的解析式为；y=$\sqrt{3}$x，
∴l与x轴的夹角为60°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO=60°，
∵OA=1，
∴OB=$\frac{OA}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵A₁B⊥l，
∴A₁O=$\frac{OB}{cos30°}$=$\frac{4}{3}$，
∴A₁（0，$\frac{4}{3}$），
同理可得A₂（0，$\frac{16}{9}$），
…
∴A₂₀₁₄纵坐标为（$\frac{4}{3}$）²⁰¹⁴．
故答案为：（$\frac{4}{3}$）²⁰¹⁴．

点评 本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A₁、A₂、A₃…的点的坐标是解决本题的关键．