Question

【题目】正方形中，M为边CB延长线上一点，过点A作直线AM，设∠BAM=α，点B关于直线AM的对称点为点E，连接AE、DE，DE交AM于点N．

（1）依题意补全图形；当α=30°时， 直接写出∠AND的度数；

（2）当α发生变化时，∠AND的度数是否发生变化？说明理由；

（3）探究线段AN，EN，DN的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）∠AND=45 ° ；（2）∠AND的度数不发生变化，理由见解析；（3）DN=.理由见解析.

【解析】

（1）依题意补全图形，由正方形的性质得出∠BAD＝90°，AB＝AD，由轴对称的性质得出AE＝AB，∠BAM＝∠EAM＝α＝30°，得出∠EAD＝150°，AE＝AB＝AD，由等腰三角形的性质得出∠AED＝∠ADE＝15°，即可得出结果；

（2）求出∠EAD＝90°＋2α．由等腰三角形的性质得出∠AED＝∠ADE＝45°α．即可得出结果；

（3）过点 A作AG⊥AM，交DE 于点G，连接BN，由轴对称的性质得出AB＝AE，∠BAN＝∠EAN，证明△ABN≌△AEN得出BN＝EN，∠AED＝∠ABN，证出∠ABN＝∠ADE，得出∠BAN＝∠DAG，证明△ABN≌△ADG得出BN＝DG，AN＝AG，得出△ANG 为等腰直角三角形，EN＝BN＝DG，即可得出结论．

解：（1）依题意补全图形，如图1所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，

∵点B关于直线AM的对称点为点E，

∴AE＝AB，∠BAM＝∠EAM＝α＝30°，

∴∠EAD＝90°＋30°＋30°＝150°，AE＝AB＝AD，

∴∠AED＝∠ADE＝（180°150°）＝15°，

∴∠AND＝∠EAN＋∠AED＝30°＋15°＝45°；

（2）∠AND的度数不发生变化；

理由如下：

∵∠BAM＝∠EAM＝α，

∴∠EAD＝90°＋2α．

∵AE＝AB＝AD，

∴∠AED＝∠ADE＝＝45°α．

∴∠AND＝∠EAN＋∠AED＝45°α＋α＝45°；

（3）DN＝AN＋EN，

理由如下：

过点 A作AG⊥AM，交DE 于点G，连接BN，如图2所示：

∵点B 与 点E关于直线AM对称，

∴AB＝AE，∠BAN＝∠EAN，

在△ABN和△AEN中，，

∴△ABN≌△AEN（SAS），

∴BN＝EN，∠AED＝∠ABN

∵∠AED＝∠ADE，

∴∠ABN＝∠ADE，

∵∠BAD＝∠GAN＝90°，

∴∠BAN＝∠DAG，

在△ABN和△ADG中，，

∴△ABN≌△ADG（ASA），

∴BN＝DG，AN＝AG，

∴△ANG 为等腰直角三角形，EN＝BN＝DG，

∴NG＝AN，

∴DN＝AN＋EN．