Question

7．如图，PA是⊙O的切线，A是切点，B是圆上异于A的另一点，PB交⊙O于C，连接AB、AC．
（1）证明：PA²=PB•PC；
（2）若PB=4，C是PB的中点，圆的半径为y，点P和圆上一点连线的最小距离为x，求y关于x的函数解析式及x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作直径AE，连结CE，如图，根据切线的性质得∠EAC+∠CAP=90°，再根据圆周角定理得∠ACE=90°，所以∠E+∠EAC=90°，则∠E=∠CAP，加上∠E=∠B，则∠CAP=∠B，于是可判断△PAC∽△PBA，利用相似比和比例的性质可得PA²=PB•PC；
（2）由（1）的结论可得PA²=4×2=8，作直线OP交⊙O于D、F，则PD=x，DF=2y，与（1）同样方法可得到PA²=PD•PF，则x•（x+2y）=8，所以y=$\frac{8-{x}^{2}}{2x}$（0＜x≤2，当BC为直径时，x最大）．

解答 （1）证明：作直径AE，连结CE，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，即∠EAC+∠CAP=90°，
∵AE为直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠E+∠EAC=90°，
∴∠E=∠CAP，
∵∠E=∠B，
∴∠CAP=∠B，
而∠CPA=∠APB，
∴△PAC∽△PBA，
∴PA：PB=PC：PA，
∴PA²=PB•PC；
（2）解：∵PB=4，C是PB的中点，
∴PC=2，
∴PA²=4×2=8，
作直线OP交⊙O于D、F，则PD=x，DF=2y，
与（1）同样方法可得到PA²=PD•PF，
∴x•（x+2y）=8，
∴y=$\frac{8-{x}^{2}}{2x}$（0＜x≤2，当BC为直径时，x最大）．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．