Question

17．阅读下列解题过程：$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$=$\frac{1×（\sqrt{5}\sqrt{4}）}{（\sqrt{5}+\sqrt{4}）（\sqrt{5}-\sqrt{4}）}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$，$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$=$\frac{1×（\sqrt{6}\sqrt{5}）}{（\sqrt{6}+\sqrt{5}）（\sqrt{6}-\sqrt{5}）}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$，请回答下列回题：
（1）观察上面的解答过程，请写出$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1；$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）利用上面的解法，请化简：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}$+$\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用已知将各式分母有理化进而得出即可；
（2）利用已知首先将原式分母有理化，进而得出即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1；
$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
故答案为：$\sqrt{2}$-1；$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；

（2）由已知可得：原式=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{99}$-$\sqrt{98}$+$\sqrt{100}$-$\sqrt{99}$
=$\sqrt{100}$-1
=9．

点评 此题主要考查了分母有理化，正确根据规律化简各式是解题关键．