Question

【题目】我们知道有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似的，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．

（1）请写出一个你学过的四边形中是等对边四边形的图形的名称．
（2）如图1，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且CD、BE相交于点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC= ∠A．请你写出与∠A相等的角．
（3）我们易证图中的四边形BCED是等对边四边形．
（提示：如图2，可证△BGO≌△CFO再证△BGD≌△CFE，可得到结论BD=CE．不需证明）
若在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，D、E分别在AB、AC上，且CD、BE相交于点O，∠DCB=∠EBC= ∠A．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：平行四边形等（只要对边相等即可）
（2）解：∵∠A=60°，∠DCB=∠EBC= ∠A，

∴∠OBC=∠OCB=30°，

∴∠BOD=∠EOC=∠OBC+∠OCB=60°，

∴与∠A相等的角是∠BOD，∠EOC

（3）解：结论：四边形BCED是等对边四边形．理由如下：

如图2中，作BG⊥CD于G，CF⊥BE于F．

∵∠DCB=∠EBC= ∠A，

∴OB=OC，

在△BGO和△CFO中，

，

∴△BGO≌△CFO，

∴BG=CF，

∵∠BOD=∠A，

∴∠A+∠DOE=180°，∠ADO+∠AEO=180°，

∵∠AEO+∠CEF=180°，∠ADO=∠BDG，

∴∠BDG=∠CEF，∵∠BGD=∠CFE，

∴△BGD≌△CFE，

∴BD=CE，

∴△BGD≌△CFE，

∴BD=CE．

∴四边形BCED是等对边四边形

【解析】（1）依据等对边四边形的定义进行判断即可；
（2）利用三角形的外角的性质，求出∠BOD即可解决问题；
（3）可证△BGO≌△CFO再证△BGD≌△CFE，可得到结论BD=CE.