Question

20．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，若AD=BD，求∠A的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，作DE⊥AB于E，连接EC．求证：△EBC是等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线和等腰三角形的性质求得∠A=∠DBA=∠DBC，由∠A+∠DBA+∠DBC=90°，即可求得∠A=30°；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质得出CE=BE，由∠EBC=60°，即可证得△EBC是等边三角形．

解答 （1）解：∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA，
∵∠DBA=∠DBC，
∴∠A=∠DBA=∠DBC，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠DBA+∠DBC=90°，
∴∠A=30°；
（2）证明：∵AD=BD，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴CE=BE，
∵∠A=30°，
∴∠EBC=60°，
∴△EBC是等边三角形．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．