Question

12．求证：三角形一个角的平分线与这个角的对边上的高所形成的夹角等于另两个角之差的一半．
已知：△ABC中，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，∠C＞∠B
求证：∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）
证明：（1）如图①所示，当高AE在三角形ABC内部时，
∵AE⊥BC于E，
∴∠B+∠BAE=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠BAE=90°-∠B
同理，∠CAE=90°-∠C
又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD
∴∠BAE-∠CAE=2∠DAE=（90°-∠B）-（90°-∠C）=∠C-∠B．
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）
（2）如图②所示，当高AE在三角形外部时，还能得到∠DAE=$\frac{1}{2}（∠ACB-∠B）$吗？如果不能，请说明理由；如果能，请证明．

Answer 1

分析 由角平分线的定义可知∠2=$\frac{1}{2}$∠BAC，由直角三角形两锐角互余可知∠3=90°-∠ACE，由三角形的内角和定理可知∠BAC=180°-∠B-∠ACB，由三角形外角的性质得到∠ACE=∠B+∠BAC，最后根据∠DAE=∠2+∠3进行化简整理即可．

解答 解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠BAC．
∵AE为BC边上的高线，
∴∠3=90°-∠ACE．
∵∠BAC=180°-∠B-∠ACB，∠ACE=∠B+∠BAC，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠ACB）+90°-（∠B+∠BAC）
=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠ACB）+90°-（∠B+180°-∠B-∠ACB）
=90°-$\frac{1}{2}∠B$-$\frac{1}{2}∠ACB$+90°-180°+∠ACB
=$\frac{1}{2}∠ACB-\frac{1}{2}∠B$．
=$\frac{1}{2}（∠ACB-∠B）$．

点评 本题主要考查的是角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，利用三角形的内角和定理和外角的性质进行变形是解题的关键．