Question

20．如图1，在正方形ABCD中，以点A为顶点的∠MAN=45°，其中AM交DC于E，AN交BC于F．
（1）求证：BF+DE=EF；
（2）如图2，将∠MAN绕点A旋转，使AM交DC的延长线于E，AN交CB的延长线于F，请探索BF、DE、EF的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）从结论的结构上看，证明的是线段的和差关系，需要截长补短，又根据90度夹45度的已知条件，不难度想到将三角形ADE顺时针旋转90度至ABG，再证明三角形AGF与三角形AEF全等即可；
（2）同（1）类似，只不过此时DE最长，只需将三角形ABF逆时针旋转90度至ADG，然后证明三角形AFE与三角形AGE全等即可．

解答 （1）证明：将△ADE顺时针旋转90度至△ABG，如图1，

则AG=AE，∠GAB=∠EAD，BG=DE
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠EAD=45°，
∴∠GAB+∠BAF=45°，
∴∠GAF=∠EAF，
在△GAF和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠GAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴EF=GF=BG+BF=DE+BF；
（2）解：将△ABF逆时针旋转90度至△ADG，如图2，

则AG=AF，DG=BF，∠FAB=∠GAD，
∵∠FAB+∠FAE=∠EAF=45°，
∴∠GAD+∠BAE=45°，
∴∠GAE=45°，
在△FAE和△GAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AG}\\{∠FAE=∠GAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△GAE（SAS），
∴EF=GE，
∴DE=DG+GE=BF+EF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质、旋转的应用，难度中等．值得注意的是，本题出现的90度夹45度模型是高频考点，务必掌握其处理技巧和证明方法．