Question

9．已知：平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与直线y=mx（m≠0）交于点A（-2，4）．
（1）求直线y=mx（m≠0）的解析式；
（2）若直线y=kx+b（k≠0）与另一条直线y=2x交于点B，且点B的横坐标为-4，求△ABO的面积；
（3）过点B的直线与X轴交于点D，且线段BD被直线AO平分，求点D的坐标及其BD的解析式．

Answer 1

分析 （1）把点A（-2，4）代入直线y=mx，运用待定系数法即可求出直线y=mx（m≠0）的解析式；
（2）先把x=-4代入y=2x，求出点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=kx+b，运用待定系数法求出其解析式，设直线AB与x轴交于点C，则△ABO的面积=△AOC的面积+△BOC的面积
（3）过点B作y轴的垂线，交直线AO于点E，直线AO与直线BD交于点F，可得出△OFD≌△EFB，从而得出点D坐标．

解答 解：（1）∵点A（-2，4）在直线y=mx上，
∴4=-2m，
∴m=-2．
∴y=-2x；
（2）设直线AB与x轴交于点C．
把x=-4代入y=2x，得y=-8，
∴点B的坐标为（-4，-8）．
∵点A（-2，4）、点B（-4，-8）在直线y=kx+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=4}\\{-4k+b=-8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=6}\\{b=16}\end{array}\right.$，
∴y=6x+16．
令y=0，得x=-$\frac{8}{3}$．
∴点C的坐标为（-$\frac{8}{3}$，0），
∴△ABO的面积=△AOC的面积+△BOC的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×4+$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×8=16；
（3）过点B作y轴的垂线，交直线AO于点E，直线AO与直线BD交于点F，
∵点B（-4，-8），
∴E（4，-8），
∴BE=8，
在△OFD和△EFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠ODF}\\{BF=DF}\\{∠BFE=∠OFD}\end{array}\right.$，
∴△OFD≌△EFB（ASA），
∴BE=OD，
∴D（8，0），
设BD解析式为y=mx+n，
把点B，D代入y=mx+n，得$\left\{\begin{array}{l}{8m+n=0}\\{-4m+n=-8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{2}{3}}\\{n=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$．
∴直线BD的解析式为y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，交点坐标的求法及三角形的面积，属于基础题型，难度中等．