Question

19．PA切⊙O于点P，AB交⊙O于C、B两点．
（1）如图1，求证：∠APC=∠ABP；
（2）如图2，M是⊙O内一点，AM交⊙O于点N，若PA=6，MN=NA=3，OM=2，求⊙O半径的长．

Answer 1

分析 （1）连接OP，根据切线的性质和圆周角定理得出∠OPA=∠BPC=90°，即可证得∠OPB=∠APC，根据等边对等角证得∠ABP=∠OPB，即可证得∠APC=∠ABP；
（2）延长AM，交⊙O于点H，作直线OM，交⊙O于两点E、F，由PA²=AN•AH，求得AH=12，即可得出MH=AH-AM=6，设⊙O的半径为r，则EM=r+2，FM=r-2，根据相交弦定理得出（r+2）（r-2）=6×3，即可求得半径．

解答 （1）证明：连接OP，
∵PA切⊙O于点P，
∴OP⊥PA，
∴∠APC+∠OPC=90°，
∵BC是直径，
∴∠BPC=90°，
∴∠OPB+∠OPC=90°，
∴∠OPB=∠APC，
∵OP=OB，
∴∠ABP=∠OPB，
∴∠APC=∠ABP；
（2）解：延长AM，交⊙O于点H，作直线OM，交⊙O于两点E、F，
∵PA切⊙O于点P，
∴PA²=AN•AH，即6²=3AH，
∴AH=12，
∴MH=AH-AM=12-3-3=6，
设⊙O的半径为r，则EM=r+2，FM=r-2，
∵EM•FM=HM•MN，
∴（r+2）（r-2）=6×3，
解得r=$\sqrt{22}$．

点评 本题考查了切线的性质以及相交弦定理，作出辅助线创造应用相交弦定理的条件是解题的关键．