Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等．若点M在直线l：y=﹣12x+16上，点（3，﹣4）在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A（﹣ ，0），试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出相应的P点横坐标x的取值范围．
（3）直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），设Q点坐标为（t，n），过Q作QH⊥x轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等，

∴抛物线的对称轴为x=2．

∵点M在直线l：y=﹣12x+16上，

∴yM=﹣8．

设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣8．

将（3，﹣4）代入得：a﹣8=﹣4，解得：a=4．

∴抛物线的解析式为y=4（x﹣2）2﹣8，整理得：y=4x2﹣16x+8

（2）

解：由题意得：C（0，8），M（2，﹣8），

如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H，

设CP的延长线交x轴于D，

则△ACD是等腰三角形，

∴OD=OA= ，

∵P点的横坐标是x，

∴P点的纵坐标为4x2﹣16x+8，

∵PH∥OD，

∴△CHP∽△COD，

∴ ，

∴x= ，

过C作CE∥x轴交抛物线与E，

则CE=4，

设抛物线与x轴交于F，B，

则B（2+ ，0），

∴y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，

∴当x= 时，∠PCO=∠ACO，

当2+ ＜x＜ 时，∠PCO＜∠ACO，

当 ＜x＜4时，∠PCO＞∠ACO

（3）

解：解方程组 ，

解得： ，

∴D（﹣1，28），

∵Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），

∴Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），

①当﹣1≤t＜0时，S= （﹣t）（﹣12t+16﹣8）+8（﹣t）=6t2﹣12t=6（t﹣1）2﹣6，

∵﹣1≤t＜0，

∴当t=﹣1时，S最大=18；

②当0＜t＜ 时，S= t8+ t（﹣12t+16）=﹣6t2+12t=﹣6（t﹣1）2+6，∵0＜t＜ ，

∴当t=﹣1时，S最大=6；

③当 ＜t＜2时，S= t8+ （12t﹣16）=6t2﹣4t=6（t﹣ ）2﹣ ，

∵ ＜t＜2，

∴此时S为最大值．

【解析】（1）根据已知条件得到抛物线的对称轴为x=2．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣8．将（3，﹣4）代入得抛物线的解析式为y=4（x﹣2）2﹣8，即可得到结论；（2）由题意得：C（0，8），M（2，﹣8），如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则△ACD是等腰三角形，于是得到OD=OA= ，根据相似三角形的性质得到x= ，过C作CE∥x轴交抛物线与E，则CE=4，设抛物线与x轴交于F，B，则B（2+ ，0），于是得到结论；（3）解方程组得到D（﹣1，28得到Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），①当﹣1≤t＜0时，②当0＜t＜ 时，③当 ＜t＜2时，求得二次函数的解析式即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a才能正确解答此题．