Question

如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．

（1）求证：AE∥BC；

（2）如图（2），将（1）中的动点D运动到边BA的延长线上，仍作等边△EDC，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】（1）证明△ACE≌△BCD推出∠ACB=∠EAC即可证．

（2）证明△DBC≌△EAC可推出∠EAC=∠ACB，由此可证．

【解答】解：（1）证明：∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°﹣∠ACD，∠ACE=60°﹣∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

在△DBC和△EAC中，

∵，

∴△DBC≌△EAC（SAS），

∴∠EAC=∠B=60°．

又∵∠ACB=60°

∴∠EAC=∠ACB

∴AE∥BC．

（2）结论：AE∥BC，

理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形

∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°

∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

即∠BCD=∠ACE，

在△DBC和△EAC中，

∵，

∴△DBC≌△EAC（SAS），

∴∠EAC=∠B=60°，

又∵∠ACB=60°

∴∠EAC=∠ACB

∴AE∥BC．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质．关键是证明△ACE≌△BCD．