Question

18．如图，∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC，EC=DC，点D在AB边上．
（1）求证：△ACE≌△BCD．
（2）若AE=3，AD=2．求ED的长．

Answer 1

分析 （1）根据∠ACB=∠ECD=90°求出∠DCB=∠ECA，根据SAS推出两三角形全等即可；
（2）根据等腰直角三角形求出∠BAC=∠B=45°，根据全等三角形的性质求出∠EAC=∠B=45°，求出∠EAD=90°，根据勾股定理求出即可．

解答 （1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，
∴∠DCB=∠ECA，
在△ACE和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CA=CB}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=∠B=45°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠B=45°，
∴∠EAD=90°，
∴在Rt△AED中，∠EAD=90°，AE=3，AD=2，由勾股定理得：ED=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．